除法取模 逆元 费马小定理

 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）这个为费马小定理，m为素数是费马小定理的前置条件。

求a/b=x(mod M）

只要M是一个素数,而且b不是M的倍数,就可以用一个逆元整数b1,通过 a/b=a*b1 (mod M)，只能来以乘换除。

费马小定理:对于素数 M 任意不是 M 的倍数的 b，都有：b ^ (M-1) = 1 (mod M)

于是可以拆成：b*b^(M-2)=1(mod M)

于是:a/b=a/b*(b * b ^ (M-2))=a*(b ^ (M-2)) (mod M)

求a/b=x(mod M)

用扩展欧几里德算法算出b1,然后计算a*b1(mod M)

exgcd(b,M,x,y);   b1=x;

当p是个质数的时候有
inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

证明：

设x = p % a,y = p / a
于是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移项得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
于是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

然后一直递归到1为止，因为1的逆元就是1。

void init()  //O(n)求逆元 
{
  inv[1] = 1;
  for(int i = 2;i <= N;i ++)
  {
    inv[i] = (mod - mod/i) * inv[mod % i] % mod;
  }
//  for(int i=1; i<=10;i++)
  //cout<<inv[i]<<endl;

}

/*

总结：求逆元的方法

在 mod 的情况下，(a*b/c)%mod不能直接/c来求，需要找到一个数inv使得 inv*c % mod =1.这样(a*b/c)%mod = (a*b*inv)%mod

性质：逆元是积性函数，存在a*b=c,那么 inv[c]=inv[a] * inv[c] %mod

1, 暴力循环找解

2，费马小定理的解法：mod是质数才能用

3，利用欧几里得扩展来求。

欧几里得扩展是用来解决 ax +by=gcd(a,b)这样的式子

这时候取 b=mod，你可以写成这样，ax=gcd(a,b)-by

推导出 a*x % mod=gcd(a,b)%mod

所以只要gcd(a,b)%mod==1是就可以使用这种方法来求逆元

4，利用神奇的推导，O(n) 求出 1~n的所有逆元(参考上面的 init())

5, 利用逆元函数是完全积性函数的性质,O(logN)求单个数的逆元

*/ 

它可以在O(n)的复杂度内算出n个数的逆元。

#include<cstdio>
const int N = 200000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int inv[N];
int init()
{
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++)
        inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
}
int main()
{
    init();
}