(http://www.elijahqi.win/2017/07/02/%E8%8E%AB%E6%AF%94%E4%B9%8C%E6%96%AF%E5%8F%8D%E6%BC%94/)
具体可以参考上面链接 我的原blog 可能有些图片无法显示全在csdn
本文主要基于xtx的讲稿 加上自己学习的一些体会
首先，我们考虑这样的一个表达式
F(1)=f(1)
F(2)=f(1)+f(2)
F(4)=f(1)+f(2)+f(4)
F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)
…
试试用F(1)~F(n)来表示f(n)?
f(1)=F(1)
f(2)=F(2)-F(1)
f(4)=F(4)-F(2)
f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)
…
回顾一下f(n)的表达式，显然有这种表示方法
μ(x)就是Mobius函数，有
性质1 ：
证明：
x=1 显然成立
x>1，不妨设
有
要是看不懂就是公式没记下来——-xtx ORZ
性质2
φ(n)表示欧拉函数
证明
令F(n)=n，f(n)=φ(n)，有
利用Mobius反演得证
至于 的证明，引入积性
函数概念
积性函数：
对于f(n)(定义域N*)，(x,y)=1=>f(xy)=f(x)f(y)，则称f(n)是积性函数
完全积性函数：满足f(p^k)=f(p)^k的积性函数
常见积性函数：
φ(n),μ(n),d(n)(正因子个数),σ(n)(正因子之和)…
积性函数性质：
若f(n)为积性函数，有
1.f(1)=1
2.积性函数的约数和也为积性函数
积性函数的前缀和呢？
这是一类问题。。。
如何证明：
n=1显然成立
考虑数学归纳法
n>1，设n=p^t*q (q,p)=1
若q>1，由积性函数性质2，得证
若q=1，φ(1)+φ(p)+φ(p^2)+…φ(p^t)=p^t=n
