探 寻 宝 藏
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传说HMH大沙漠中有一个M*N迷宫，里面藏有许多宝物。某天，Dr.Kong找到了迷宫的地图，他发现迷宫内处处有宝物，最珍贵的宝物就藏在右下角，迷宫的进出口在左上角。当然，迷宫中的通路不是平坦的，到处都是陷阱。Dr.Kong决定让他的机器人卡多去探险。
但机器人卡多从左上角走到右下角时，只会向下走或者向右走。从右下角往回走到左上角时，只会向上走或者向左走，而且卡多不走回头路。（即：一个点最多经过一次）。当然卡多顺手也拿走沿路的每个宝物。
Dr.Kong希望他的机器人卡多尽量多地带出宝物。请你编写程序，帮助Dr.Kong计算一下，卡多最多能带出多少宝物。
第一行： K 表示有多少组测试数据。
接下来对每组测试数据：
第1行: M N
第2~M+1行： Ai1 Ai2 ……AiN (i=1,…..,m)
【约束条件】
2≤k≤5 1≤M, N≤50 0≤Aij≤100 (i=1,….,M; j=1,…,N)
所有数据都是整数。 数据之间有一个空格。
输出
对于每组测试数据，输出一行：机器人卡多携带出最多价值的宝物数
样例输入
2
2 3
0 10 10
10 10 80
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 100
样例输出
来源
第六届河南省程序设计大赛
上传者
ACM_赵铭浩
这道题和以往我们做的dp不同之处就在于 是一去一回
加入只有去 我们可以 用动态规划方程 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+map[i][j].
而这道题去了又回来 我们可以理解为两个人同时从左上角去 不过不走相同的路
如果两个人不走相同的路 那么这两个人必须不在相同的列或者行 又因为 两个人走的步数完全相同
所以我们可以通过一个人走的步数得到另外一个人走的步数
我们可以通过一个四维的数组来保存
于是这个时候的动态规划方程
dp[i][j][k][l]=max(max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1]),
29.
max(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]))+map[i][j]+map[k][l];
附上代码：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int map[55][55];
int dp[55][55][55][55];
int main()
{
int ncase;
scanf("%d",&ncase);
while(ncase--)
{
int n,m;
memset(dp,0,sizeof(dp));
memset(map,0,sizeof(map));
scanf("%d %d",&m,&n);
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&map[i][j]);
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
for(int k=i+1;k<=m;k++)
{
int l=i+j-k;
if(l<0||l>n)
break;
dp[i][j][k][l]=max(max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1]),
max(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]))+map[i][j]+map[k][l];
}
printf("%d\n",max(max(dp[m][n-1][m-1][n],dp[m][n-1][m][n-1]),
max(dp[m-1][n][m-1][n],dp[m-1][n][m][n-1]))+map[m][n]);
}
}
由于四维数组占用的空间特别大 又因为在这道题中两个人走的步数完全相同 也就是i+j=k+l 所以我们可以通过步数 转换为3维的
dp[k][i][j] 其中k为当前走的步数 i为第一个人的行左边 j为第二个人的行坐标
又因为我所建的图左上角坐标为（1,1） 所以从左上角到右下角需要的最少步数为m+n-2
这个时候的动态转移方程为
dp[k][i][j]=max(max(dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i-1][j-1]),
max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][j-1]))+map[i][k-i+2]+map[j][k-j+2];
ac代码：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int map[55][55];
int dp[110][55][55];
int main()
{
int ncase;
scanf("%d",&ncase);
while(ncase--)
{
int n,m;
memset(dp,0,sizeof(dp));
memset(map,0,sizeof(map));
scanf("%d %d",&m,&n);
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&map[i][j]);
int step=m+n-2;
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=i+1;j<=m;j++)
for(int k=1;k<step;k++)
{
if(k+2>=i&&k+2>=j)
{
dp[k][i][j]=max(max(dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i-1][j-1]),
max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][j-1]))+map[i][k-i+2]+map[j][k-j+2];
}
}
printf("%d\n",max(dp[step-1][m][m-1],dp[step-1][m-1][m])+map[m][n]);
}
return 0;
}
