题目链接 给你 k 枚相同的鸡蛋,并可以使用一栋从第 1 层到第 n 层共有 n 层楼的建筑。
已知存在楼层 f ,满足 0 <= f <= n ,任何从 高于 f 的楼层落下的鸡蛋都会碎,从 f 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次操作,你可以取一枚没有碎的鸡蛋并把它从任一楼层 x 扔下(满足 1 <= x <= n)。如果鸡蛋碎了,你就不能再次使用它。如果某枚鸡蛋扔下后没有摔碎,则可以在之后的操作中 重复使用 这枚鸡蛋。
请你计算并返回要确定 f 确切的值 的 最小操作次数 是多少?
示例 1:
输入:k = 1, n = 2
输出:2
解释:
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了,肯定能得出 f = 0 。
否则,鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了,肯定能得出 f = 1 。
如果它没碎,那么肯定能得出 f = 2 。
因此,在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 f 是多少。
示例 2:
输入:k = 2, n = 6
输出:3
示例 3:
输入:k = 3, n = 14
输出:4
提示:
1 <= k <= 100
1 <= n <= 104
看到这个题目之后,第一印象是在UPC的某场训练中好像是做过这么个问题,当时好像是用的dp
一个很不错的参考博客:点我跳转
我们定义dp[k][n]为剩下k个鸡蛋,并且余下楼层为n当前状态下所需要的最小次数
这里说的余下楼层的意思是:经过排除之后,剩下多少层没有扔过鸡蛋的层数
比如一共十层,在第六层扔下鸡蛋没有坏掉,那么说余下的楼层就是10-6 = 4;因为从第六层扔下鸡蛋没有坏掉那么说在1-5层扔下鸡蛋也是不会坏掉的
既然状态已经表达了出来,那么说我们也就可以将状态转移出来了:
假设我们将鸡蛋从pos层扔下之后{
- 鸡蛋坏掉,那么说状态就变成了,鸡蛋坏掉一个,并且需要从以下的楼层(有层)继续尝试
- 鸡蛋没坏,那么说状态就变成了,鸡蛋数量没有发生变化,而需要确定的楼层的数量就变成了,因为我们只需要确定在层以上的楼层进行扔鸡蛋测试
}
所以说
这里的是指在范围内的最小的
但是这个样子时间复杂度上不太优雅,是,绝对会超时(会有方法解决
在这里呢,可以考虑决策单调性,当时在写杭电多校一个题的时候学到的一个点
图片来源
设鸡蛋数目不变:
,T1是关于楼层高度n递增的
,是关于扔鸡蛋的位置pos递减的
最优的最小的最大值一定是两条线的交点
再放一遍递推式:
在鸡蛋数目不变,即k确定该不变的条件下,对于,随着楼层的总数量的增加,这一项的值不变;
而对于,随着楼层数量的变大,它的值会增加
所以说在前一项不变,后一项增加的状态下,焦点的位置会向上走,即也是单调递增的(交点向右上方走)。所以说,鸡蛋数量不变的情况下,随着的增加,对应的最优解的坐标是单调递增的。这样一来,每个的均摊复杂度为