[NOI2019] 机器人[DP] [拉格朗日插值]

​​传送门​​​$NOI 2019$ 的第5道，听说可以用下降幂维护，但是我用拉格朗日插值怼过去了
考虑暴力的$dp$，$f_{l,r,k}$表示区间 $[l,r]$ 的最大值为 $k$ 的方案数
枚举最高点位置，显然并没有东西可以挡住最高点，因此
如果区间为奇数，$p\in [mid-1,mid+1]$
如果区间为偶数，$p\in [mid,mid+1]$
$f_{l,r,k}=\sum_{x\le k}f_{l,p-1,x}+\sum_{x<k} f_{p+1,r,x}$
然后发现 $p$ 每次取的值很少，于是总的区间个数$M$应该不会很多
于是就有$O(MV)$ 的算法
考虑 $A_i=1,B_i=1e9$ ，转移十分的单一，猜想它是一个关于 $k$ 的多项式
首先对于 $l=r$，$f$ 是一个常数，然后每次将 $f$ 前缀和后加起来就会多一次，两边乘起来次数相当与加起来，$f$ 是一个不超过 $r-l+1$ 次的多项式
考虑先按权值排序，分段，$[v_{i-1},v_i-1]$ 的转移类似 $A_i=1,B_i=1e9$
我们只需要暴力维护 $n$ 项$dp$ 的值，然后可以通过拉格朗日插出 $v_i-1$ 的 $dp$ 值
复杂度 $O(n^2m)$，$luogu$ 开$O_2$可以A

#include<bits/stdc++.h>
#define N 305
#define M 3005
using namespace std;
int read(){
  int cnt = 0, f = 1; char ch = 0;
  while(!isdigit(ch)){ ch = getchar(); if(ch == '-') f = -1;}
  while(isdigit(ch)) cnt = (cnt << 1) + (cnt << 3) + (ch-'0'), ch = getchar();
  return cnt * f;
}
#define cs const
cs int Mod = 1e9 + 7;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b;}
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod;}
int power(int a, int b){int ans=1; for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) ans=mul(ans,a); return ans;}
void Add(int &a, int b){ a = add(a, b);}

int home[N][N], dp[M][N], len[M];
bool vis[N][N];
int n, m, bench, a[N], b[N];
int e[N << 1], tot, Max;
int lim, x[N]; // lagrange 
int fac[N], inv[N];
void prework(){
  fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = 1;
  for(int i = 2; i <= lim; i++) fac[i] = mul(fac[i-1], i);
  inv[lim] = power(fac[lim], Mod-2);
  for(int i = lim-1; i >= 2; i--) inv[i] = mul(inv[i+1], i+1); 
}
void get(int now, int l, int r, int cur);
int work(int l, int r){
  if(l > r || vis[l][r]) return home[l][r];
  int mid = (l+r) >> 1;
  if(home[l][r] == 0){
    home[l][r] = ++m;
    len[m] = r-l+1;
  } int now = home[l][r]; 
  for(int i = 1; i <= Max; i++) dp[now][i] = 0;
  if(l == r){
    for(int i = 1; i <= Max; i++)
      dp[now][i] = dp[now][i-1] + (i + bench >= a[l] && i + bench <= b[l]);
    return now;
  }
  if(mid - l == r - mid){ get(now, l, r, mid - 1); get(now, l, r, mid); get(now, l, r, mid + 1); }
  else{ get(now, l, r, mid); get(now, l, r, mid + 1);}
  for(int i = 1; i <= Max; i++) Add(dp[now][i], dp[now][i-1]);  
  vis[l][r] = 1;
  return now;
}
void get(int now, int l, int r, int cur){ 
  int u = work(l, cur - 1), v = work(cur + 1, r);
  for(int i = 1; i <= Max; i++)
    if(i + bench >= a[cur] && i + bench <= b[cur])
      Add(dp[now][i], mul(dp[u][i], dp[v][i-1]));
}
int lagrange(int n, int *x, int *y, int pos){
  static int pre[N], suf[N];
  pre[0] = add(pos, Mod - x[0]);
  suf[n] = add(pos, Mod - x[n]);
  for(int i = 1; i <= n; i++) pre[i] = mul(pre[i-1], add(pos, Mod - x[i]));
  for(int i = n-1; i >= 0; i--) suf[i] = mul(suf[i+1], add(pos, Mod - x[i]));
  int ans = 0;
  for(int i = 0; i <= n; i++){
    int tmp = 1;
    if(i) tmp = mul(tmp, mul(inv[i], pre[i-1]));
    if(i^n) tmp = mul(tmp, mul(inv[n-i], suf[i+1]));
    if((n-i) & 1) tmp = Mod - tmp; ans = add(ans, mul(y[i], tmp));
  } return ans;
}
int main(){
  n = read(); lim = n + 3; prework();
  for(int i = 1; i <= n; i++){
    a[i] = read(), b[i] = read();
    Max = max(Max, b[i]);
    e[++tot] = a[i], e[++tot] = b[i] + 1;
  } sort(e + 1, e + tot + 1);
  for(int i = 0; i <= lim; i++) dp[0][i] = 1;
  for(int i = 1; i <= tot; i++){
    if(e[i] != e[i-1]){
      bench = e[i-1];
      Max = min(lim, e[i] - e[i-1] - 1);
      memset(vis, 0, sizeof(vis));
      work(1, n);
      if(Max == e[i] - e[i-1] - 1){
        for(int j = 1; j <= m; j++)
          dp[j][0] = dp[j][Max];
      } else{
        static int x[N];
        for(int j = 0; j <= lim; j++)
          x[j] = bench + j;
        for(int j = 1; j <= m; j++){
          dp[j][0] = lagrange(len[j] + 2, x, dp[j], e[i] - 1);
        }
      } bench = e[i] - 1; Max = 1;
      memset(vis, 0, sizeof(vis));
      work(1, n);
      for(int j = 1; j <= m; j++)
        dp[j][0] = dp[j][Max];
    }
  } cout << dp[home[1][n]][0]; return 0;
}