坐标旋转与曼哈顿距离与切比雪夫距离之间的转换

前置知识
$sin(\alpha)=-sin(-\alpha)$
$cos(\alpha)=cos(-\alpha)$
$sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1$
$sin(\alpha)=cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)$
和角公式：
$cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)$
证明：
做出一个单位圆，在圆上面取两个点，$A(cos(\beta),sin(\beta)),B(cos(\alpha),sin(\alpha))$
那么它们的夹交$AOB$就是 $\alpha-\beta$
勾股定理求 $AB$ 得
$AB^2=(cos(\alpha)-cos(\beta))^2+(sin(\alpha)-sin(\beta))^2=2-cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)$
余弦定理求 $AB$ 得，$AB^2=OA^2+OB^2-2cos(\alpha-\beta)OA*OB=2-2*cos(\alpha-\beta)$
所以有 $cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)$
同理有 $cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)$

$sin(\alpha+\beta)=cos(\frac{\pi}{2}-\alpha-\beta)$
$=cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)cos(\beta)+sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)sin(\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$

$sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)$

---

坐标旋转：
将坐标系顺时针转 $\alpha$ 度，等价于将所有点逆时针转 $\alpha$ 度
问题转变为已知 $(x,y)$，求 $(x',y')$，为 $(x,y)$ 逆时针转 $\alpha$ 度的点
设 $(x,y)$ 与 $x$ 的夹角为 $A$
那么 $x'=|R|cos(A-\alpha)=|R|(cos(A)cos(\alpha)+sin(A)sin(\alpha))=x*cos(\alpha)+y*sin(\alpha)$
$y'=|R|sin(A-\alpha)=|R|(sin(A)cos(\alpha)-cos(A)sin(\alpha))=y*cos(\alpha)-x*sin(\alpha)$

---

曼哈顿距离与切比雪夫距离的转换
曼哈顿转切比雪夫：
发现离原点，曼哈顿距离为 $x$ 的点构成的集合刚好是一个偏了 $45^{o}$ 的正方形
把这个正方形转正，再扩大 $\sqrt 2$ 倍，得到的新的正方形就是距原点切比雪夫距离为 $x$ 的点的集合
于是就有 $(x,y)$ 变到 $\sqrt 2*(x*cos(45^{o})+y*sin(45^{o}),y*cos(45^{o})-x*sin(45^{o}))$
也就是 $(x+y,x-y)$
变回去就是 $(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})$

另一种理解方式：
曼哈顿：$|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$
拆开看，有四种
$x_1-x_2+y_1-y_2$
$x_1-x_2-y_1+y_2$
$-x_1+x_2+y_1-y_2$
$-x_1+y_2-y_1+y_2$
一四所属同类，$|(x_1+y_1)-(x_2+y_2)|$
二三所属同类，$|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|$
曼哈顿距离取的是上述四种最大的一个
$max(|(x_1+y_1)-(x_2+y_2)|,|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|)$
而这恰恰就是$(x_1+y_1,y_1-x_1)$ 到$(x_2+y_2,y_2-x_2)$ 的切比雪夫距离