Taylor Formula

$Taylor\ Formula:$

• 目的：我们试图用一个多项式去拟合一个复杂的函数，这样在处理问题上提供极大的便利
• 提出问题：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 具有 $n$ 阶导数，试图找出一个关于 $x-x_0$ 的 $n$ 次多项式
  $g(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\dots +a_n(x-x_0)^n$
  要求 $lim_{x\to x_0}f(x)-g(x)$ 是比 $\lim_{x\to x_0}(x-x_0)^n$ 高阶的无穷小
  那么需要满足如下等式成立
  $g(x_0)=f(x_0)\\ g'(x_0)=a_1=f'(x_0)\\g^{(2)}(x_0)=2*a_2=f^{(n)}(x_0)\\\dots \\ g^{(n)}(x_0)=n!*a_n=f^{(n)}(x_0)$
  于是我们得到
  $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\dots +\frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n$
• 泰勒中值定理1：
  如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，那么存在 $x_0$ 的一个邻域，使得邻域任意一个 $x$ 满足
  $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\dots +\frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$
  其中 $R_n(x)=o((x-x_0)^n)$ （高阶无穷小）
  记 $R_n(x)=f(x)-g(x)$，则
  $R_n(x_0)=R_n'(x_0)=\dots =R_n^{(n)}(x_0)=0$
  要证原命题，我们只需要证明：
  $\lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=0$
  我们用洛必达法则求这个极限就可以证明
• 泰勒中值定理2：
  若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域 $U(x_0)$ 有 $n+1$ 阶导数，那么任意 $x_0\in U(x_0)$，有
  $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\dots +\frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$
  其中
  $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}(\text{$\xi$ 在 $x_0$,$x$中间)}$
  证明：记 $R_n(x)=f(x)-g(x)$，用 “柯西中值定理” 可以得到
  $\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R_n(x)-R_n(x_0)}{(x-x_0)^{n+1}-0}=\frac{R'_n(\xi_1)}{(n+1)(x-x_0)^n}(\text{$\xi_1$ 在 $x_0$,$x$中间)}$
  继续迭代，妙不可言
  $\frac{R'_n(\xi_1)}{(n+1)(x-x_0)^n}=\frac{R_n'(\xi_1)-R_n(x_0)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^{n}-0}=\frac{R''_n(\xi_2)}{(n+1)n(x-x_0)^{n-1}}(\text{$\xi_2$ 在 $x_0$,$x$中间)}$
  到最后就会有
  $\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(\text{$\xi$ 在 $x_0$,$x$中间)}$
  而 $R_n^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)$ 于是得证
• 有了这个，我们就可以误差分析了
  设当 $x\in U(x_0)$ 时，$|f^{(n+1)}(x)\le M|$，那么误差
  $|R_n(x)|=|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}|\le \frac{M(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$
  如：用 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots+\frac{x^n}{n!}$求 $e$ 时
  误差为 $|R_n|\le \frac{e}{(n+1)!}$，当 $n\le 10$ 时可以做到 $10^{-6}$ 级别