CF # 1477 简要题解

A

• 求$gcd$即可

B

• 把操作倒过来，容易用线段树维护

C

• 增量构造，每次容易调整为合法解

D

给 $m$ 对关系，要求两个排列 $p_{u},p_v$ 和 $q_u,q_v$ 的大小关系一样
最大化 $p,q$ 中位置不同的个数

• 考虑这个图的补图，去除一个联通块
  若大小为$1$，那么铁定相等了
  否则连了边的点之间大小关系是无所谓的
  考虑一个菊花图，设根为$u$，其余点为$v_1\dots v_k$
  只需要$p_u=1,q_u=k+1$
  $p_{v_i}=i+1,q_{v_i}=i$，这样就实现了错位，且与其它点的大小关系是对的
  考虑整一棵$dfs$树出来，我们只需要将其划分成若干菊花依次构造就可以了

E

有两个长为 $n,m$ 的数组 $a_i,b_i$，要将其排成一个长为 $n+m$ 的数组
给定一个初始值 $w$，每一次将 $w$ 变成 $\max(0,w+c_i-c_{i-1})$（$c_0=c_1$）
若干 $c_i$ 原本是 $a$ 中的，则将 $a$ 的分数加 $w$，否则 $b$ 加 ，求 $a-b$ 分数的最大值

• 每个点的贡献就是$\max(c_i-c_1+k,c_i-\min_{j\in [1,i]}c_j)$
  我们将这个写成$k+c_i-c_1+\max(0,c_1-k-\min_{j\in [1,i]}c_j)$
  考虑贪心，枚举一个$a_p$（或$b_p$） 作为第一个，那么一定是$b_m,\dots b_1$，然后是$a_1,\dots a_n$
  我们将贡献写出来：设$t=a_p$
  $(n-m)k+(m-n)t-\sum_{i=1}^m\max(0,t-k-b_i)\\+(n-1)\max(0,t-k-\min (a_i,b_i))+\sum a_i-\sum b_i$
  $(n-m)k+(m-n)t-\sum_{i=1}^m\max(0,t-k-b_i)\\+n\max(0,t-k-\min (a_i,b_i))+\sum a_i-\sum b_i$
  注意到这是个关于$t$的分段一次函数，我们把所有可能的分段点找出来，用树状数组求和即可

F

有 $n$ 个巧克力棍，每个长为 $L_i$，每次每根木棍有 $\frac{L_i}{\sum L}$ 的概率被选中
然后它会被分为两个长为 $x,L_i-x$ 的巧克力棍，其中 $x$ 是在 $[0,L_i]$ 随机的实数
求 $\max L\le K$ 的期望

• 我们先从简单的问题入手，分析$n=1$的情况
  我们不看成将其分成两根，那么问题可以看成随机在$[0,L]$切若干刀
  注意到我们只需要统计切若干刀任然$\max L>K$的概率，就可以知道答案
  下面我们来统计切了$t$刀结束了的概率$p_t$，那么$\sum 1-p_t$就是答案
  我们设$w=\frac{K}{L}$，然后将$L$看成$1$
  那么就是有$t+1$个$[0,1]$的随机变量$x_i$满足$\max(x_i)\le w$，$\sum x_i=1$
  看成$t$个随机变量，$\max(x_i)\le 1,\frac 1w-1\le \sum x_i\le \frac 1w$
  我们设$\le y$的概率为$f(y)$，那么求的就是$t!w^t\Big(f(\frac 1w)-f(\frac 1w-1)\Big)$
  对于$f(y)$，我们枚举上界容斥，得到：
  $f(y)=\sum_{i=0}^{\lfloor y\rfloor}(-1)^i\binom ti\frac{(y-i)^t}{t!}$
  所以说算的就是：
  $1-p_t=1-\Big(\sum_{i=0}^l(-1)^i\binom ti(1-wi)^t-\sum_{i=0}^{l-1}(-1)^i\binom ti (1-(i+1)w)^t\Big)\\=\sum_{i=1}^l(-1)^{i-1}(\binom{t}{i}+\binom{t}{i-1})(1-wi)^t=\sum_{i=1}^{l}(-1)^{i-1}\binom{t+1}{i}(1-wi)^t$
  现在我们要对$t$求和，即需要计算：$\sum_t \binom{t}{i}x^t=x^i(\frac{1}{1-x})^{i+1}$
• 解决多个的问题：
  我们设$q_{i,j}$表示第$i$根，切$j$刀，还活着的（存在一段$>K$的概率）
  其中$q_{i,j}=\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{L_i}{K}\rfloor}(-1)^{k-1}\binom{m+1}{k}(1-\frac{K}{L_i}k)^j$
  设其$EGF$为$Q_i(x)$，设$p_i$为总共切$i$下还活着的概率，$P(x)$为其$EGF$
  然后将$Q_i(x)$中$x^j$乘上$(\frac{L_i}{\sum L})^j$
  即$P(x)=e^x-\prod_i(e^{\frac{L_i}{\sum L}x}-Q_i(x))$
  若要求出答案，我们需要将$P(x)$换成其$OGF$$p(x)$，那么答案就是$p(1)$
  为了得到$p(x)$，我们还需要对$P(x)$进行化简
  $\exp(\frac{L_i}{L}x)-\sum_t \frac{x^t}{t!}\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{L_i}{K}\rfloor}(-1)^{k-1}\binom{t+1}{k}(1-\frac{K}{L_i}k)^t(\frac{L_j}{L})^t\\=\exp(\frac{L_i}{L}x)-\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{L_i}{K}\rfloor}(-1)^{k-1}\binom{t+1}{k}(\frac{L_i-kK}{L})^t\frac{x^t}{t!}\\=\exp(\frac{L_i}{L}x)-\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{L_i}{K}\rfloor}(-1)^{k-1}\frac{t+1}{(t+1-k)!k!}(\frac{L_i-kK}{L}x)^t$
  设$y=\frac{L_i-kK}{L}x$，那么就是
  $\exp(\frac{L_i}{L}x)-\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{L_i}{K}\rfloor}(-1)^{k-1}\frac{1}{k!}y^ke^y-\sum_{k}(-1)^{k-1}\frac{1}{(k-1)!}y^{k-1}e^y$
  我们将$e^{\frac{L_i}{L}x}$提出来，那么后面都是$e^{\frac{-kK}{L}x}$，系数只有$\frac{L}{k}$种
  我们暴力维护系数，复杂度为$\mathcal{O}(n(\frac{L}{k})^4)$
  注意到$x^k$和$e^{-\frac{kK}{L}x}$只会有$n$的差，所以可以变成$\mathcal{O}(n^2(\frac{L}{k})^2)$
  用$ntt$可以优化到$\mathcal{O}(n^2L\log L)$
  考虑求出$x^ke^{Cx}$的贡献：$\sum_{i\ge 0}(i+k)!\frac{C^{i}}{i!}=k!\sum_{i\ge 0}\binom{i+k}{k}C^{i+k}=k!(\frac{1}{1-C})^{k+1}$