「USACO 2020 US Open Platinum」Exercise （容斥）（DP）

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• 考虑枚举划分$S$：
  $\prod_Slcm(a_1,a_2,\dots,a_k)^{coef(S)}$
  这个可以反演成$gcd$
  $\prod_S \prod_Tgcd(a_1,a_2,\dots,a_{|T|})^{coef(S)(-1)^{|T|-1}}$
  考虑一个$p^k$的贡献
  $\prod_{p,k} p_i^{k_i\sum_{S}\sum_T(-1)^{|T|-1}[min(b_1,b_2,\dots,b_{|T|}=k_i]coef(S)}\\\prod p_i^{\sum_{S}\sum_T(-1)^{|T|-1}[min(b_1,b_2,\dots,b_{|T|}\ge k_i]coef(S)}$
  考虑$dp$一下
  $\sum_{S}\sum_T(-1)^{|T|-1}[min(b_1,b_2,\dots,b_{|T|}\ge k_i]coef(S)$
  就是我们钦定$|T|$个置换长度为$p_i^{k_i}$的倍数，剩下的随便置换，这个可以组合数算
  我们记$f_{i}$表示当前数为$p^k*i$时的带系数方案数，当然，也可以直接$\exp$（如果有逆元的话）
  $\exp(\sum_{i\ge 1}-\frac{x^i}{ip^k})$
  现在的复杂度是$\sum (\frac{n}{i})^2=O(n^2)$
  ​​$Code$​