微分方程：
定义： 含有未知函数，未知函数的n阶导数，以及自变量关系的方程。（其中，未知函数的n阶方程必须有）；
分类: 常微分方程； 偏微分方程；
常用概念：
最高阶导数的阶数 称为 微分方程的阶；
微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数y；
通解： 解中 独立任意常数 的个数 与方程的阶数相同；
特解： 不含任意常数的解，其图形为积分曲线；
初始条件(或初值条件)： 确定 通解中 任意常数的条件；
通解不一定是全部解，如： (x+y)y' = 0;
验证通解的步骤： 1. 证明解； 2.证明通解；
1.1一阶可分离变量的微分方程：
考虑如下一阶微分方程
，
其难点： 不能通过等式两边 积分求解；
处理： 变换。
左边只含有 y的表达式；
--> 方程右边只含有 x的表达式；
定义： 若一个微分方程可写成 g(y)dy = f(x)dx，则称其为可分离变量微分方程。（一般情况下为一阶）；
1.2一阶齐次方程：
定义：方程项数的次数整齐，并且次数 >= 2，若为n,同除 一个 x^n,能够得到形如：y'=
的方程； 公式：
,其中，
固定不变；
1.3一阶线性微分方程：
定义： 微分方程形如： y' + P(x)*y = Q(x),其中x 近似看成常数，y与y' 看成变量；
分类：
齐次式（Q(X)=0的情况）：分离变量法 --->
(通解)
非齐次式（Q(x)=/=0）：齐次的通解 + 一个非齐次的特解；
常数变易法(方法一)：
假定
,-->
-->
-->
公式法（方法二）：
关键点： 在基本初等函数中，只有e^x 的导数是他本身，以上的两种方法都是基于这个思想；
练习题：
法一：
法二： 令x+y = u, y = u-x,
2.1普通高阶线性微分方程：
伯努利方程：
解法：经过变量代换，化为 一阶线性微分方程，变量代换需要依据具体情况而定。
2.2可降阶的高阶微分方程：
y'' = f(x,y,y');
1.形式为 y^m = f(x)时: 依次积分；
2.形式为y^m = f(x,y')时: 依次求 y^(m-1), 再向上回溯。（令 y' = P(x) ）
3.形式为 y^m = f(y,y')时: 令 y' = P(y), 则 y'' = P* (dp/dy);
理解：
3.1二阶线性微分方程：
形如: y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)
齐次解的结构( f(x)=0的情况 )：
设C1y1+ C2y2（一般模型）, 若y1,y2线性无关，即是通解（亦可称为 线性无关特解）。
两个函数线性无关的充要条件：
做题时，应先判断解的线性无关性；
非齐次解的结构( f(x)=/=0 的情况)：
y= Y(x) + y^* (x)
设：
(k=1,2 ... m) 分别时方程：
的特解，解的叠加性：
eg: y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)有三个解： y1 = x,y2=e^x, y3 = e^3x,求此方程满足初始条件： y(0) =1,y'(0)=3的特解。
提示: y2-y1 与 y3-y2时对应齐次方程的解。
3.2二阶线性 常系数 齐次 微分方程：
特征方程；
待定系数法： 各阶导数可合并，则假设： y = e^(rx)
1.当 ∆> 0 时，其解：
(注：微分方程一般都是 求通解)；
2.当 ∆= 0 时，可对应一个特解. y1 = e^(rx), 令 y2 = u(x)*e^(rx),然后求 u，可取特解u=x,则 y2 = x*e^(rx).
其通解为： y= c1*e^(rx) + c2*x*e^(rx) = e^(rx)* (c1+c2*x);
3.当 ∆< 0 时，r =
，（共轭复根） 欧拉公式：
，被称为： 数学中的天桥，由泰勒公式推到而来；
它经过若干次化简后，可以得到通解：
eg: y'''' - 2y''' + 5y''=0 ==> r^4 - 2*r^3 +5*r^2 =0; --> r1=r2=0; r3,r4 = 1+- 2i, （虚数）;
y= (c1+ c2*x)*e^(0x) + e^x * (c3 cos2x + c4 sin2x);
3.3二阶线性 常系数 非齐次 微分方程：
y'' +p*y' +q = f(x);
f(x)的情况有：
1.
，（m表次数），求 y* = e^(λx),Q(x), 即求 Q(x); 代入得: Q''(x) + (2λ+p)Q'(x) +(λ^2 + pλ+q)Q(x) =
若等式左右的次数相等：
1.当 λ^2 + pλ+q =/=0时， 即 λ不是特征根，记为：
记为：
,（跟特解无关）
2019.4.4修改： 上述的2λ-p 应该为： 2λ+p
记为：
，（跟特解无关）
2019.4.4修改： 上述的2λ-p 应该为： 2λ+p
记为：
,其中，k 表根的情况，如0重根 (λ通常是已知的)，1单根，双重根。
eg: 求 y'' -2y' -3y = 3x+1的一个特解，有λ=0,m=1
思路： 有： y* =
,可令：
，代入原式；
eg: 求 y'' -5y' +6y = x*e^(2x) 的通解；
2019.4.1 补充：
二阶线性微分方程：
定理：
1.当 y1 ,y2 为 二阶齐次线性微分方程的两个解，那么 y =C1*y1+C2*y2 也是解；
2.当 y1 ,y2 为 二阶齐次线性微分方程的两个解，且y1,y2线性无关，那么 y =C1*y1+C2*y2 是通解；
3.二阶线性非齐次微分方程的通解为： 对应齐次式的通解 + 非齐次的一个特解；
4.叠加原理: 当非齐次式的右端为： f1(x)+f2(x)时，当 y1,与y2分别为： 右端为 f1(x)， f2(x)时的特解，则 y1(x)+y2(x)为方程的一个特解。
计算：
常数变易法；略（如有需要再来补充）；
常系数齐次线性微分方程：
概念： 当p,q全为常数时，称为 常系数微分方程； 不全为常数，称为变系数微分方程。
二阶的通解的结构：
不等的实根r1,r2: 通解为
两个相等的实根： 通解为
一对共轭复根： 通解为
高阶： 略。 (若需要再补充)；
常系数非齐次线性微分方程：
通解： 对应齐次式的通解 + 一个非齐次的特解。
1.
，（m表次数） 其中，p(x)表示 关于x的多项式； 其具有特解：
,其中，k 表根的情况，如0重根 (λ通常是已知的)，1单根，双重根。 2.
型，p,q 分别是 x的 l 次，n次 多项式；
其特解： 略。 若有需要再来补充。
