《概率论与数理统计》 第二章 随机变量的分布函数

随机变量的分布函数

分布函数的定义

设X是一个随机变量（离散型或连续型），x是任意实数，称事件$\{X\leq x\}$的概率$P\{X\leq x\}$为X的分布函数，记作

$F(x)=P\{X\leq x\}\\$

分布函数的定义域是整个实数域

分布函数的性质

• 性质1 分布函数$F(x)$是实数域上的单调不减函数
• 性质2 分布函数$F(x)$至多有可数个跳跃间断点，且处处都是右连续的，即对任意实数$x_0$,都有$F(x_0+0)=\lim_{x \to x_0^+}F(x)=F(x_0)$

利用分布函数求概率（重中之重）

$P\{X<a\}=F(a-0)$   $F(x)在a处的左极限$

$P\{X=a\}=F(a)-F(a-0)$ $特别有用$

离散型随机变量的分布函数

分布函数是概率的累积

相关关系如下图所示：

连续型随机变量的分布函数

分布函数定义

连续函数的分布函数$F(x)$一定是某个非负函数$f(x)$（称为X的密度函数）的积分上限函数

$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\, {\rm d}t\\$

将X称为连续型随机变量

关于是否为分布函数的判断

• $例题一：F_1(x)=\begin{cases} 0,x<0 \\ x+1/2,0\le x \le1/2\\ 1,x \ge 1/2 \end{cases}$

是分布函数，理由如下：

• $x \to +\infty$时$F_1(x) \to 1$
• $x \to -\infty$时$F_1(x) \to 0$
• 在间断点0处右连续

$例题二：F_2(x)=\begin{cases} 0,x \leq 0 \\ x+0.2,0< x <0.7\\ 1,x \ge 0.7 \end{cases}$

不是分布函数，理由如下：

• 在间断点0处不是右连续

经典例题选讲

$例一：随机变量X的分布函数F(x)=\begin{cases} 0,x<0 \\ 1/2,0\le x <1\\ 1-e^{-x},x \ge 1 \end{cases} 则P\{X=1\}=$

题目分析

• 若x=a是$F(x)$的连续点，则$P\{X=a\}=0$
• 若x=a是$F(x)$的间断点，则$P\{X=a\}=F(a)-F(a-0)$,称为在点x=a处的跃度
• 通过画图可知，x=1为函数的间断点，所以$P\{X=1\}$的值是$1-e^{-1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-e^{-1}$