《概率论与数理统计》第二章 随机变量及其分布

第一节 随机变量

随机变量引入的背景

为了便于用数学工具研究随机现象的统计规律性，将各种不同的随机试验的结果，即样本空间S中的每一个元素e与一个实数x对应

随机变量概念

设随机试验E的样本空间为S={e}，若X=X(e)是定义在样本空间S上的一个单值实函数，则称X=X(e)为随机变量

分类：离散型和连续型

• 离散型随机变量：随机变量只可取有限个或可数无限个值
• 连续型随机变量：随机变量可以取一个区间中的所有实数

案例分析

• 随机取一个整数x，则x是一个随机变量，取值范围是一切整数，x是一个离散型随机变量

第二节 离散型随机变量及其分布律

离散型随机变量的概率满足的基本性质

• 非负性：$p_k\ge0$,k=1,2,....n
• 规范性：$p_1+p_2+p_3+....p_n=1$

0-1分布

0-1分布定义

只取0和1两个值的随机变量所服从的分布称为0-1分布

0-1分布补充

如果一个随机试验的样本空间只包含两个元素，即$S=\{e_1,e_2\}$

我们总能在S上定义一个服从0-1分布的随机变量X来描述这个随机试验的结果

​$即：X=X(e)= \begin{cases} 0,e=e_1\\ 1,e=e_2 \end{cases}$

伯努利试验 二项分布

$定义：设随机试验E只有两个可能的结果：A和\overline{A},则称E为伯努利试验$

$设P(A)=p(0<p<1)则P(\overline{A})=1-p，将E独立重复进行n次，称为n重伯努利试验$

n重伯努利试验特点

• 每次试验只有两个结果：A及其对立事件
• 概率不变：P(A)=p
• 各次试验相互独立

二项分布

• 二项分布是伯努利概型的概率分布

二项分布定义

设X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数。则X是一个随机变量，X可能的取值为0,1,2,3....n。

$P\{X=k\}=\mathrm{C}_n^kp^k(1-p)^{n-k}(k=0,1,2,3,4,...n)$

随机变量X服从参数为n，p的二项分布，也叫伯努利分布，记为$X\backsim b(n,p)$

概率分布的特点：

• 对固定的n和p，当k增加时，概率$p_k$先是单调增加，直到达到最大值，然后单调减小，并趋于0
• p越小（大），$p_k$最大值出现的越早（晚）

泊松分布

泊松分布公式的推导

$二项分布的近似公式P\{X=k\}=\mathrm{C}_n^k(\frac{t}{n})^k(1-\frac{t}{k})^{n-k}$

$化简结果如下所示$

$\mathrm{C}_n^k(\frac{t}{n})^k(1-\frac{t}{k})^{n-k}$

$=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)}{k!}(\frac{t}{n})^k(1-\frac{t}{k})^{n-k}$

$=\frac{t^k}{k!}\frac{n(n-1)....(n-k+1)}{n^k}(1-\frac{t}{n})^n(1-\frac{t}{n})^{-k}$

$=\frac{t^k}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})(1-\frac{t}{n})^n(1-\frac{t}{n})^{-k}$

$=\frac{t^k}{k!}*1*e^{-t}*1$

$=\frac{t^k}{k!}e^{-t}$

$成立二项分布的推论:P\{X=k\}=\mathrm{C}_n^k(\frac{t}{n})^k(1-\frac{t}{k})^{n-k}=\frac{t^k}{k!}e^{-t}$

$其中\frac{t}{n}为随机事件发生的概率，k为事件发生的次数$

泊松分布的定义

摘自徐小湛老师的课件：

$注：特别的，当n\ge20,p\leq0.05时，用泊松分布的近似值更好$

泊松分布的性态

• 当t大于1时，概率先随k单调增加，达到最大值后，单调减少
• 当t小于1时，概率随k单调减少
• 泊松分布没有对称性

几何分布与超几何分布

几何分布定义

设在多重伯努利试验中，事件A发生的概率为p(0<p<1)，记X为A第一次发生时的试验次数，则X取值k的概率

$P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p (k=1,2....)$

称X服从参数为p的几何分布，记作$X\backsim G(p)$

几何分布的性态

概率随k增加单调减小，p越大，概率减小越快

如下图所示

超几何分布定义

设有N件产品，其中有M件次品。从中任取n件，则其中恰有k件次品（$k\leq M$）的概率是：

$P\{X=k\}=\frac{\mathrm{C}_M^k*\mathrm{C}_{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}_N^n}\\$

称X服从参数为n，M，N的超几何分布，记为$X\backsim H(n,M,N)$

超几何分布与二项分布关系

当N很大时，超几何分布与二项分布近似