两类曲面积分的联系

文章目录

• 两类曲面积分之间的联系

• 推导
• 其他形式
• 公式总结
• 公式应用
• 区域投影和方向余弦
• 向量形式
• 例

两类曲面积分之间的联系

推导

• 设积分曲面$\Sigma$是由方程$z=z(x,y)$(0)给出,$\Sigma$在$xOy$面上的投影区域为$D_{xy}$
• 函数$z=z(x,y)$在$D_{xy}$上具有一阶连续偏导数,被积函数$R(x,y,z)$在$\Sigma$上连续
• 若$\Sigma$取上侧,则

• 对坐标的曲面积分公式

• $\iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$\iint\limits_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y$(1-1),其中$\Sigma$取上侧
• $\iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$-\iint\limits_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y$(1-1')其中$\Sigma$取下侧

• 对面积的曲面积分公式:

• $\iint\limits_{\Sigma} R(x,y,z)\mathrm{d}S$=$\iint\limits_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_{x}^2 +z_{y}^{2}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$(1-2)

• 令$r$=$\sqrt{1+z_{x}^2+z_{y}^{2}}$(2),则$\Sigma$的法向量$\bold{n}$的方向余弦分别为如下(2-1,2-2,2-3)

1. $\cos\alpha$=$\frac{-z_x}{r}$
2. $\cos\beta$=$\frac{-z_{y}}{r}$
3. $\cos\gamma$=$\frac{1}{r}$

• 将(2)代入公式(1-2),得$\iint\limits_{\Sigma} R(x,y,z)\mathrm{d}S$=$\iint\limits_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y))r\mathrm{d}x\mathrm{d}y$(3)

• 从而$\iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\cos\gamma\mathrm{d}S$=$\iint\limits_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y))r\cos\gamma\mathrm{d}x\mathrm{d}y$(3-1)
• 将(2-3)代入(3-1),$\iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\cos\gamma\mathrm{d}S$=$\iint\limits_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y$(4)

• 比较(1-1)右端和(4)的右端,两者相等,则两侧左端也相等(或者(4)直接代入(1-1)),从而$\iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$\iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\cos\gamma\mathrm{d}S$(5)

• 若$\Sigma$取下侧,则将式(4)代入式(1-1’),得
• $\iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$-\iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\cos\gamma\mathrm{d}S$(5-1),此时$\cos\gamma$=$\frac{-1}{r}$,因此(5,5-1)右端都可以展开为$\iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\frac{1}{r}\mathrm{d}S$,因此(5)仍然成立

其他形式

• 类似可以推得

• $\iint\limits_{\Sigma}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z$=$\iint\limits_{\Sigma}P(x,y,z)\cos\alpha\mathrm{d}S$(6)
• $\iint\limits_{\Sigma}Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x$=$\iint\limits_{\Sigma}Q(x,y,z)\cos\beta\mathrm{d}S$(7)

公式总结

• 将(5,6,7)合并,得$\iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$\iint\limits_{\Sigma}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\mathrm{d}S$(8)

• 其中$\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$是有向曲面$\Sigma$在$(x,y,z)$处的法向量$\bold{n}$的方向余弦

公式应用

• 两类曲面积分的联系(转换)公式的三种形式(简写)

• $\iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z$=$\iint\limits_{\Sigma}P\cos\alpha\mathrm{d}S$
• $\iint\limits_{\Sigma}Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x$=$\iint\limits_{\Sigma}Q\cos\beta\mathrm{d}S$
• $\iint\limits_{\Sigma}R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$\iint\limits_{\Sigma}R\cos\gamma\mathrm{d}S$

• 公式(8)将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分来计算
• 欲将$\iint\limits_{\Sigma}R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$转换为第一类曲面积分,只要将被积元素$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$用$\cos\alpha\mathrm{d}S$替换即可

• 其他2种情形类似

区域投影和方向余弦

• 由区域投影的知识,有面积元素关系:$(\mathrm{d}y\mathrm{d}x,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$=$(\cos\alpha\mathrm{d}S,\cos\beta\mathrm{d}S,\cos\gamma\mathrm{d}S)$

• 这个公式有时可以用来变形并合并积分式,简化计算
• 将第二类曲面积分转换到另一个投影面计算,然后与其他投影面上的被积表达式合并计算,另见例题

向量形式

• $\iint\limits_{\Sigma}\bold{A}\cdot\mathrm{d}\bold{S}$=$\iint\limits_{\Sigma}\bold{A}\cdot\bold{n}\mathrm{d}{S}$(9)或$\iint\limits_{\Sigma}{A_{n}}\cdot\mathrm{d}{S}$(10)

• $\bold{A}$=$(P,Q,R)$,
• $\bold{n}$=$(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$为有向曲面$\Sigma$在$(x,y,z)$处的单位法向量
• $\mathrm{d}\bold{S}$=$(\mathrm{d}y\mathrm{d}x,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$称为有向曲面元也记为$\bold{n}\mathrm{d}S$=$(\cos\alpha\mathrm{d}S,\cos\beta\mathrm{d}S,\cos\gamma\mathrm{d}S)$

• $(\mathrm{d}y\mathrm{d}x,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$=$(\cos\alpha\mathrm{d}S,\cos\beta\mathrm{d}S,\cos\gamma\mathrm{d}S)$(11)

• $A_{n}$为向量$\bold{A}$在$\bold{n}$上的投影

例

• 计算$I=\iint\limits_{\Sigma}(z^2+x)\mathrm{d}y\mathrm{d}z-z\mathrm{d}x\mathrm{d}y$(1)

• 其中$\Sigma$是旋转抛物面$z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$(2)介于两平面截面$z=0,z=2$之间的部分的下侧(2-1)

• 解

• 有两类曲面积分之间的联系,$\iint\limits_{\Sigma}(z^2+x)\mathrm{d}y\mathrm{d}z$=$\iint\limits_{\Sigma}(z^2+x)\cos\alpha\mathrm{d}S$=$\iint\limits_{\Sigma}(z^2+x)\cos\alpha\frac{1}{\cos\gamma}{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$(3)
• 在曲面$\Sigma$上,将(2)变形:$x^2+y^2-2z=0$法向量$2(x,y,-1)$,取$\bold{n}$=$(x,y,-1)$
• 令$r=\sqrt{1+x^2+y^2}$,$\cos\alpha$=$\frac{x}{r}$;$\cos\gamma$=$\frac{-1}{r}$(4),代入(3),$\iint\limits_{\Sigma}(z^2+x)\mathrm{d}y\mathrm{d}z$=$\iint\limits_{\Sigma}(z^2+x)(-x){\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$
• 从而$I$=$\iint\limits_{\Sigma}[(z^2+x)(-x)-z]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$(5)
• 对(5)按对坐标的区面积计算,即

• 确定符号:由条件(2-1)指出方向取下侧,从而符号取负号
• 将式(2)代入(5),得$I$=$-\iint\limits_{D_{xy}}[(\frac{1}{4}(x^2+y^2)^2+x)(-x)-\frac{1}{2}(x^2+y^2)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
• 计算此二重积分时,注意对称性和奇偶性:$\iint\limits_{D_{xy}}\frac{1}{4}x(x^2+y^2)^2$=$0$
• 所以$I$=$\iint\limits_{D_{xy}}(x^2+\frac{1}{2}(x^2+y^2))\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
• 该积分适合用极坐标计算:

• $\theta\in[0,2\pi]$,$r\in[0,2]$,其中$D_{xy}$是半径为$2$的圆
• $I$=$\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{2}r^3\cos^2\theta+\frac{1}{2}r^3\mathrm{d}r$=$4\int_{0}^{4}(\cos^{2}\theta+\frac{1}{2})\mathrm{d}\theta$=$8\pi$