文章目录
- 线性微分方程
- 函数线性相关性
- 线性微分方程解的性质
- 线性方程解和对应齐次方程解的基本性质
- 齐次线性方程解的线性组合性质
- 齐次线性方程的通解结构
- 非齐次线性方程的通解结构
- 线性微分方程解的叠加原理
线性微分方程
- =
(1)
, - 方程(1)对应的齐次方程为
(2)
函数线性相关性
- 设是定义在某区间内得个函数,若存在不全为0的个常数,使得
(1)
成立,则称这个函数在该区间内线性相关,否则称这个函数在该区间内线性无关 - 当时,即只有2个函数时,线性无关等价于之比不为常数(设)
- 证明:若,为常数,显然=,即一定存在个不全为0的常数满足线性相关方程
- 因此线性无关必有不为常数,否则线性相关
- 反之,若不为常数,记为
- ==,不是常数0,所以,当且仅当时成立,(否则是一个关于的函数),所以线性无关
线性微分方程解的性质
线性方程解和对应齐次方程解的基本性质
- 设为线性方程(1)的解,且为方程(1)对应的齐次方程的解,则是(1)的解
- 设都是线性方程(1)的解,则是方程(1)对应的齐次方程的解
- 上述两点性质容易通过代入验证,和线性代数中的线性方程组解的结构类似的特点
齐次线性方程解的线性组合性质
- 若是齐次线性方程(2)的个解,则它们的线性组合还是(2)的解
齐次线性方程的通解结构
- 设,是阶齐次线性方程(2)的个线性无关的解,,为个任意常数,则为方程(2)的通解
- 例如,二阶齐次线性方程的通解可以表示为,其中线性无关,是两个任意常数(不可合并的独立常数)
非齐次线性方程的通解结构
- 设为(1)的一个解,为(1)对应的齐次方程(2)的通解,则为(1)的通解
线性微分方程解的叠加原理
- 设为方程=,
(1)
解
- 则 是 =
(2)
的解 - 本性质容易代入验证
- 本定理指出,当,并且可知式(1)的特解时的特解分别有,则可直接得到(2)的一个特解