EM@圆和圆锥曲线的参数方程

文章目录

• abstract
• 圆的参数方程

• 匀速圆周运动的轨迹

• 从普通方程直接转化为参数方程

• 任意位置圆心的方程

• 参数方程
• 一般方程
• 例

• 交点问题的参数方程法

• 圆锥曲线的参数方程

• 椭圆参数方程

• 例
• 椭圆内接矩形的最大面积问题

• 抛物线参数方程

• 一般位置的抛物线
• 例

• 双曲线的参数方程

• 点到双曲线的最短距离
• 例

abstract

• 圆和圆锥曲线的参数方程
• 
  

圆的参数方程

匀速圆周运动的轨迹

• 圆可以看作是质点作匀速圆周运动下的轨道曲线
• 质点以匀角速度$\omega$作圆周运动,圆心在原点,半径为$R$

• 下面建立运动的轨迹方程.
• 记$t$为时间，运动开始时$t=0$，质点位于点$A$处,

• 在时刻$t$，质点位于点$M(x,y)$处.
• 由物理学知识，$\theta=\omega{t}$,$\theta$为$Ox$轴正向到向径$\overrightarrow{OM}$所成的角,

• 因此得参数方程组(1):

• $x=R\cos\omega{t}$;$y=R\sin\omega{t}$;$t\geqslant{0}$

• 这是圆周运动的轨迹方程,参数为$t$
• 也可以以$\theta=\omega{t}$作为参数(此时参数具有明显的意义),方程(2):

• $x=R\cos\theta$;$y=R\sin\theta$;$\theta\in[0,2\pi]$

从普通方程直接转化为参数方程

• 主要应用毕达哥拉斯三角恒定关系:$\sin^2{\theta}+\cos^2\theta=1$实现转换
• 方程(2)可以由圆的普通方程转化得出

• $x^2+y^2=R^2$;即$(\frac{x}{R})^2+(\frac{y}{R})^2$=$1$
• 令$\frac{x}{R}=\cos\theta$;$\frac{y}{R}=\sin\theta$,则得到方程(2)

• 这个方法对于其他的一些二次曲线也有效,例如圆锥曲线

任意位置圆心的方程

• 若圆心在点$M(x_0,y_0)$,半径为$R$,则圆的参数方程:

• 坐标系$xOy$原点平移到$M$处得到的新坐标系记为$x$,($O$重合)

参数方程

• 以$x$可建立参数方程$x$,$y$;
• 再根据平移的坐标变换公式,$x$,$y$,代入上述方程得:

• $x-x_0=R\cos\theta$
• $y-y_0=R\sin\theta$

• 即有方程(3):$\theta\in[0,2\pi]$

• $x=x_0+R\cos\theta$
• $y=y_0+R\sin\theta$

一般方程

• $x$
• 代入坐标变换公式即有$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$

例

• 圆心$(-1,2)$,半径为$3$的参数方程:$x=-1+3\cos\theta$,$y=2+3\sin\theta$

交点问题的参数方程法

• 设直线的参数方程为$x=1+t$;$y=1-t$(1);圆的方程为$x^2+y^2=4$(2)
• 将(1)代入(2)得:$(1+t)^2+(1-t)^2=4$;即$2(1^2+t^2)=4$,$t=\pm{1}$
• 令$t_1=-1,t_2=1$,分别代入直线方程,的两个交点$(0,2)$,$(2,0)$

圆锥曲线的参数方程

• 某些研究领域中,圆锥曲线的参数方程比一般方程更加方便,尤其式椭圆的参数方程应用广泛

椭圆参数方程

• 设椭圆普通方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$;即$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1$
• 令$\frac{x}{a}=\cos{t}$,则$(\frac{y}{b})^2=1-\cos^{2}t=\sin^2{t}$;取$\frac{y}{b}=\sin{t}$
• 得中心在坐标原点时得椭圆参数方程(1):

• $x=a\cos{t}$;$y=b\sin{t}$;$0\in[0,2\pi]$

• 一般位置椭圆:

• 若椭圆中心位于$M_0(x_0,y_0)$,则结合坐标平移变换公式得椭圆一般方程(1-1)

• $x=x_0+a\cos{t}$;$y=y_0+b\sin{t}$;$t\in[{t},{2\pi}]$

• 普通方程:$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$

例

• 设椭圆方程为$\frac{(x-1)^2}{3}+\frac{(y+2)^2}{5}=1$,求参数方程

• 椭圆中心为$(1,-2)$,$a=\sqrt{3},b=\sqrt{5}$,
• 参数方程为$x=1+\sqrt{3}\cos{\theta}$;$y=-2+\sqrt{5}\sin\theta$,$\theta\in[0,2\pi]$

椭圆内接矩形的最大面积问题

• 设椭圆$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$,求其内接最大矩形面积

• 椭圆参数方程为$x=5\cos{t}$,$y=4\sin{t}$
• 设第一象限内椭圆上一点$M(x,y)$,由椭圆的对称性,内接举行的面积为

• $S=4xy$=$4\times{5\cos{t}}\times{4\sin{t}}$=$40\sin{2t}$

• 可见,当$t=\frac{\pi}{4}$时,$S$取最大值$40$
• 此时$M$坐标为$(\frac{5}{2}\sqrt{2},2\sqrt{2})$

抛物线参数方程

• 设抛物线普通方程为$y^2=2px$;
• 只需令$t=y$,则$x=\frac{y^2}{2p}=\frac{t^2}{2p}$,即得参数方程(1)

• $x=\frac{t^2}{2p}$;$y=t$

• 但为了使形式更加协调,通常令$t=\frac{1}{2p}y$;即$y=2pt$,有方程(2)

• $x=2pt^2$
• $y=2pt$

一般位置的抛物线

• 由坐标平移变换公式,$y=2px$平移到点$M_0(x_0,y_0)$为定点的位置的曲线方程为$(y-y_0)^2=2p(x-x_0)$

• 若仅作水平方向的平移,则$y_0=0$,从而方程为$y^2=2p(x-x_0)$=$2px-2px_0$,顶点为$(x_0,0)$

• $y^2=2px+\alpha$,则$\alpha=-2px_0$,$x_0=-\frac{\alpha}{2p}$
• 例如$y^2=2x-3$,变形为$y^2=2x-2\times{\frac{3}{2}}$;$(-3=-2)$
• 即顶点为$(\frac{3}{2},0)$的和$y^2=2x$形状相同的抛物线

• 若仅作竖直方程的平移,$(y-y_0)^2=2px$,顶点为$(0,y_0)$

• 对于$(y+b)^2=2px$,其$b=-y_0$,$y_0=-b$,顶点为$(0,-b)$
• 例如$(y-2)^2=2x$,其顶点为$(0,2)$
• 
  

例

• 点$M(x,y)$为$y^2=2x$上的动点,给定$M_0(-1,0)$,点$P$为线段$M_0M$的中点;求点$P$的轨迹方程

• 参数方程为:$x=2t^2$;$y=2t$;
• 点$P(\frac{1}{2}(-1+2t^2),\frac{1}{2}(0+2t))$=$(-\frac{1}{2}+t^2,t)$

• 可见$P$的轨迹的参数方程为:$x=-\frac{1}{2}+t^2$;$y=t$
• 普通方程为$y^2=x+\frac{1}{2}$

双曲线的参数方程

• 设中心为坐标原点的双曲线的普通方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(1)

• 参考三角恒等式$\sec^2\theta-\tan^2{\theta}=1$
• 令$\frac{x}{a}=\sec{\theta}$,$\frac{y}{b}=\tan{\theta}$,得参数方程(2)

• $x=a\sec\theta$;$y=b\tan\theta$

点到双曲线的最短距离

• 点$M_0(x_0,y_0)$到$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的最短距离问题

例

• 设$M_0(0,2)$到双曲线$x^2-y^2=1$的最小距离$d$

• 双曲线的参数方程为$x=\sec\theta$;$y=\tan\theta$
• 设点$M(\sec\theta,\tan\theta)$,则$|M_0M|^2$=$(\sec\theta-0)^2+(\tan\theta-2)^2$=$2\tan^2\theta-4\tan\theta+5$=$2(\tan\theta-1)^2+3$
• 可见,当$\tan\theta-1=0$时,即$\theta=\frac{\pi}{4}$时,$|M_0M|^2$取最小值$3$,$|M_0M|$取最小值$\sqrt{3}$
• 所以$d=\sqrt{3}$