EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件

文章目录

• abstract
• 一次函数与直线图形
• 直线方程与方程的直线
• 直线的斜率
• 直线分类

• 倾斜角
• 倾斜角和斜率的关系

• 直线方程的形式

• 点斜式
• 斜截式
• 两点式

• 一般式方程

• 任何二元一次表示一条直线
• 一般式

• 两直线的位置关系

• 用初等代数的知识推导
• 从线性方程组的解的结构推导
• 比值式判定两直线平行
• 重合判定

• 总结

• 判断位置关系的算法
• 直线平行对应的方程关系👺

• 两条直线垂直

• 直线垂直对应的斜率关系
• 直线垂直判断算法
• 直线垂直对应的方程关系

abstract

• 平面直线方程和直线位置关系判定条件

一次函数与直线图形

• 一般地,$l$是一次函数$y=kx+b$,$(k\neq{0})$(1)的图形,所表达的意义是:

• 若点$P$在$l$上,则它的坐标$(x,y)$,满足$y=kx+b$
• 反之,若点$P$的坐标$(x,y)$满足(1),则$P$点一定在$l$上

• $l$上任意两点$(x_1,kx_1+b)$,$(x_2,kx_2+b)$都在同一条直线上,因此$l$是一条直线,即(1)的图形是一条直线
• 特别的,当$k=0$时,无论$x$取何值,$y$始终等于$b$,即$y=0x+b=b$(1-1),

• 此时的图形仍然是一条直线,并且是平行于$x$轴的直线;

• 总之,一次函数的图形是直线,但直线的图形不一定对应于某个一次函数
• 式(1),(1-1)都可以看作一个二元一次方程,因此方程$y=kx+b$的解和不垂直于$x$轴的直线$l$上的点存在一一对应的关系,因此直线$l$是方程$y=kx+b$的图形

直线方程与方程的直线

• 一般地,若以一个(二元一次)方程的解$(x,y)$为坐标的点都是某条直线上的点;反之,这条直线上的点坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线
• 由于方程$y=kx+b$的图象是一条直线,因此常称$y=kx+b$为直线$y=kx+b$
• 方程$y=b$和$x=x_0$(1-2)分别为:平行于$x$轴且过$(0,b)$的直线;垂直于$x$轴且过$(x_0,0)$的直线

直线的斜率

• 直线$l$(式(1))被其上的任意不同两点所唯一确定,设直线上两点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$坐标可以算出直线的斜率$k$

• 通常我们把直线$y=kx+b$中的系数$k$称为直线的斜率

• 由于$A,B$在$l$上,有$y_1=kx_1+b$;$y_2=kx_2+b$;两式相减:$y_2-y_1$=$k(x_2-x_1)$,所以$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,$(x_1\neq{x_2})$(1-3)
• 若用增量$\Delta{x}=x_2-x_1$,$\Delta{y}=y_2-y_1$,则式(1-3)可以表示为$k=\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$,$\Delta{x}\neq{0}$
• 显然,垂直于$x$轴的直线(1-2)斜率不存在,其也不是一次函数
• (1-1)不是一次函数,但仍然是一条直线,并且仍然存在斜率,只不过斜率为0

直线分类

• 此后,将直线方程分为两类,存在斜率和不存在斜率的(不再以是否为一次函数为分类标准)
• 存在斜率的直线可以表示为$y=kx+b$,而不存在斜率的直线表示为$x=x_0$
• 前者是讨论的重点

倾斜角

• 方程$y=kx+b$的图形式过点$(0,b)$且斜率为$k$的直线
• 斜率$k$决定了这条直线相对于$x$轴的倾斜程度
• 一般地,$x$轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角,通常记为$\alpha$

• 规定与$x$轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角

倾斜角和斜率的关系

• $k=\tan{\alpha}$,$\alpha\in[0,\pi)$,$k\in(-\infin,+\infin)$
• $k=0$时,直线平行(重合)于$x$轴
• $k>0$时,直线的倾斜角为锐角,$\alpha$随$k$的增大而增大
• $k<0$时,直线的倾斜角为钝角,$\alpha$随$k$的增大而增大
• 当$k$不存在时,倾斜角为直角

直线方程的形式

• 下面假设直线的斜率存在
• 如果不存在,则只能表示为$x=x_0$的形式,无需讨论

点斜式

• 已知直线$l$过点$P_0(x_0,y_0)$,且斜率为$k$,直线方程为$y-y_0=k(x-x_0)$(1),称为直线的点斜式方程

• 设点$P(x,y)$为$l$上不同于$P_0$的任一点,则直线$l$的斜率$k$由$P,P_0$两点确定为$k=\frac{y-y_0}{x-x_0}$,整理得(1)式
• 特别的,当$k=0$时,方程变为$y-y_0=0$,即$y=y_0$,(1-1)

斜截式

• 当$P_0(x_0,y_0)$为$y$轴上的点$(0,b)$时,式(1)写成$y-b=k(x-0)$,即$y=kx+b$(2)
• 斜截式可以理解为点斜式的一种特殊情况,其中$b$为直线的截距
• 当$k\neq{0}$时,(2)是一次函数解析式,$k=0$时,则不是一次函数

两点式

• 已知两点$A(x_1,y_2)$,$B(x_2,y_2)$,且$x_1\neq{x_2}$,求直线$AB$的方程
• 由两点可以确定$AB$直线的斜率:$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,由点斜式,$(y-y_1)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$,变形可得$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$=$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$,$x_1\neq{x_2}$(3)称为两点式方程
• 使用增量表示,$\frac{y-y_1}{\Delta{y}}$=$\frac{x-x_1}{\Delta{x}}$,$\Delta{x}\neq{0}$

一般式方程

• 基于点斜式推导出的若干直线形式都依赖于前提:直线斜率存在(不垂直于$x$轴)
• 若以二元一次方程的角度看,斜率不存在的直线表示为$x=x_0$,即$y$的系数为0,而$x$的系数为1
• 对于每一条直线,都可以求出其对应的二元一次方程,从而任何直线都是关于$x,y$的二元一次方程

任何二元一次表示一条直线

• 设关于$x,y$的二元一次方程的一般形式为$Ax+By+C=0$,(1)$(A,B)\neq{(0,0)}$,即$A,B$不同时为0

• $B\neq{0}$时,式(1)化为$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$,即斜截式方程

• 其表示的是斜率为$k=-\frac{A}{B}$,且$y$轴上的截距为$-\frac{C}{B}$的直线

• 当$B=0$,此时$A\neq{0}$,式(1)化为$x=-\frac{C}{A}$

• 其表示的是于$y$轴平行或重合的直线

• 综上,关于$x,y$的二元一次方程表示一条直线

一般式

• 综上讨论,方程(1)称为直线的一般式方程

两直线的位置关系

• 设两条直线分别为$l_1$:$A_1x+B_1y+C_1=0$;$l_2$:$A_2x+B_2y+C_2=0$,联立两个方程为方程组(1)

用初等代数的知识推导

• 使用高斯消元法,若先消去$x$,则

• $A_1A_2x+B_1A_2y+A_2C_1=0$
• $A_1A_2x+A_1B_2y+A_1C_2=0$
• 两式相减,$(B_1A_2-A_1B_2)y+A_2C_1-A_1C_2=0$(2-1)

• 类似的,若先消去$y$

• $A_1B_2x+B_1B_2y+B_2C_1=0$
• $A_2B_1x+B_1B_2y+B_1C_2=0$
• 可得:$(A_1B_2-A_2B_1)x+B_2C_1-B_1C_2=0$,(2-2)

• 由(2-1)或(2-2),(下面以(2-2)为主讨论)当$A_1B_2-A_2B_1\neq{0}$,(3)

• 有:$x=\frac{B_1C_2-C_1B_2}{A_1B_2-A_2B_1}$
• 类似的可得$y=\frac{A_2C_1-A_1C_2}{A_1B_2-A_2B_1}$
• 因此$A_1B_2-A_2B_1\neq{0}$时,方程组有唯一解;这是两条直线相交,交点为坐标$(x,y)$

• 当$A_1B_2-A_2B_1=0$(3-0)时,且$A_2C_1-A_1C_2\neq{0}$(3-1)或$B_1C_2-C_1B_2\neq{0}$(3-2)时,方程组(1)无解,此时两直线没有公共交点,两直线平行(不重合)

• 这一点可以从式(2-2)看出,当$A_1B_2-A_2B_1=0$时,方程(2)写成$B_2C_1-B_1C_2=0$,若$B_2C_1-B_1C_2\neq{0}$,则可使得(2)不成立,也就是方程(1)无解
• 从而(3-0),(3-2)是无解的条件;对于(3-0),(3-1)也是类似的原因

从线性方程组的解的结构推导

• 方程组(1)可以写作:

• $A_1x+B_1y=-C_1\\ A_2x+B_2y=-C_2$
• 该线性方程组的系数矩阵

• $A=\begin{pmatrix} A_1&B_1\\ A_2&B_2 \end{pmatrix}$

• 由于方程组的未知数个数和方程个数相等,考虑使用Cramer法则给出唯一解的条件:$|A|\neq{0}$时方程组(1)有唯一解;即$|A|=\begin{vmatrix}A_1&B_1\\A_2&B_2\end{vmatrix}$=$A_1B_2-A_2B_1\neq{0}$
• 或者更一般的,使用初等变换法,以及线性方程组解的情况的秩判别法

• $\small\begin{pmatrix} A_1&B_1&-C_1\\ A_2&B_2&-C_2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-\frac{A_2}{A_1}{r1}} \begin{pmatrix} A_1&B_1&-C_1\\ 0&B_2-\frac{A_2}{A_1}B_1&-C_2+\frac{A_2}{A_1}{C_1} \end{pmatrix}$

• 这里假设$A_1\neq{0}$

• 当$B_2-\frac{A_2}{A_1}B_1\neq{0}$,两边乘以$A_1$,得式(3),这就是有解的条件
• 无解的条件是$B_2-\frac{A_2}{A_1}B_1={0}$,且$-C_2+\frac{A_2}{A_1}{C_1}\neq{0}$,这就是无解的条件,即式(3-0),(3-1)

比值式判定两直线平行

• 若$A_2,B_2,C_2\neq{0}$,则两条直线平行的条件可以改写为比值形式:$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq{\frac{C_1}{C_2}}$

重合判定

• 对于$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}={\frac{C_1}{C_2}}$,的情形(此时两直线相交),令这个比值为非零常数$\lambda$,则$A_1=\lambda{A_2}$,$B_1=\lambda{B_2}$,$C_1=\lambda C_2$,($\lambda\neq{0}$)(4)
• 在条件(4)下,两个直线方程中未知数的对应系数成比例,$l_1$方程可以写成$\lambda(A_2{x}+B_2{y}+C_2)=0$(5)

• 显然,$l_1,l_2$方程的解集相同,此时两直线重合

总结

• $l_1,l_2$的位置关系有3种,相交,平行,重合

• 此处的3种关系,具体的说,相交是相交于一点,(两直线方程的解集的交集仅有一个元素)
• 平行是没有交点(两直线方程解集的交集为空集)
• 重合是其他两种情况以外的情形(两直线方程的解集相同)

• (单点)相交,则$A_1B_2-A_2B_1\neq{0}$或$\frac{A_1}{A_2}\neq{\frac{B_1}{B_2}}$
• 平行:

1. $A_1B_2-A_2B_1=0$且$A_2C_1-A_1C_2\neq{0}$或$B_1C_2-C_1B_2\neq{0}$中的一个成立
2. 或$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq{\frac{C_1}{C_2}}$

• 重合:$A_1=\lambda{A_2}$,$B_1=\lambda{B_2}$,$C_1=\lambda C_2$,$(\lambda\neq{0})$或$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}={\frac{C_1}{C_2}}$

用表格表示:

	条件不全为0()	比值式条件
相交于一点
平行不重合	且
重合	,,,

判断位置关系的算法

• 由两直线的一般方程为$A_i,B_i,C_i$,$(i=1,2)$赋值($A_i,B_i$不同时为0)
• 计算$D_1=A_1B_2-A_2B_1$,$D_2=B_1C_2-C_1B_2$或$A_1C_2-A_2C_1$
• 若$D_1\neq{0}$,则$l_1,l_2$相交
• 若$D_1=0$,$D_2\neq{0}$,则$l_1,l_2$平行
• 若$D_1=0$,$D_2=0$,则$l_1,l_2$重合

直线平行对应的方程关系👺

• 若$A_1=A_2=A$,$B_1=B_2=B$,$C_1\neq{C_2}$,则两直线平行
• 证明:$D_1=A_1B_2-A_2B_1$=$AB-AB=0$;$D_2=B_1C_2-B_2C_1$=$B(C_2-C_1)$或$A_1C_2-A_2C_1$=$A(C_2-C_1)$

• 当$B\neq{0}$时,$D_2\neq{0}$,两直线平行
• 当$B=0$时,由直线的定义,$A,B$不同时为0,从而$B=0$时,$A\neq{0}$,

• 方法1:$B(C_2-C_1)$=0,但$A(C_2-C_1)\neq{0}$,所以$D_2\neq{0}$,两直线平行
• 方法2:从直线本身特点判断

• 两直线分别为$Ax-C_1=0$,$Ax-C_2=0$,即分别为$x=-\frac{C_1}{A}$,$x=-\frac{C_2}{A}$,这两条直线都与$x$轴垂直,那么两直线要么平行,要么重合
• 由于$C_1\neq{C_2}$,从而两直线平行而不重合

• 一般地,我们可以把与直线$Ax+By+C=0$平行(不重合)的直线设为$Ax+By+D=0$,$(D\neq{C})$

两条直线垂直

• 设两条直线分别为$l_1$:$A_1x+B_1y+C_1=0$;$l_2$:$A_2x+B_2y+C_2=0$
• 在平面内,两条直线垂直则一点相交,即,垂直是相交的一种特殊情况
• 由直线平行对应的方程关系可知,$l_1$和$l_1$:$A_1x+B_1y+0=0$平行,$l_2$和$l_2$:$A_2x+B_2y+0=0$平行,从而研究$l_1,l_2$的垂直条件时,可以转换为研究$l_1$的垂直条件
• 显然,$l_1$是通过坐标原点$(0,0)$的直线,在直线$l_1$上分别取原点外的点,分别设为$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,并且$x_1x_2\neq{0}$
• 设$l_1$斜率存在且非0(不与坐标轴平行或垂直),即$B_1,B_2\neq{0}$,直线可以分别表示为$y_1=-\frac{A_1}{B_1}x_1$(0-1),$y_2=-\frac{A_2}{B_2}x_2$(0-2),即"$y=kx$"的形式

• 由两点间距离公式:$|AB|^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$
• 勾股定理$|OA|^2+|OB|^2=|AB|^2$,$x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$=$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$
• 化简后可得$x_1x_2+y_1y_2=0$(1),代入(0-1),(0-2),得$x_1x_2(1+\frac{A_1A_2}{B_1B_2})=0$(2)
• 因为$x_1x_2\neq{0}$,所以$1+\frac{A_1A_2}{B_1B_2}=0$(2-1)
• 对(2-1)两边同乘$B_1B_2$,得$A_1A_2+B_1B_2=0$(2-2)
• 逆向推导可知,$l_1$相互垂直,也就有$l_1,l_2$相互垂直

• 若$l_1$中有一条斜率不存在或为0,(与坐标轴平行或重合)

• 当$l_1\perp{l_2}$时,可知另一条也与坐标轴重合或平行
• 不妨设$l_1$,$l_2$,此时$A_1=1,B_1=0$,$A_2=0,B_2=1$
• 这同样有(2-2)成立,反之,由式(2-2),也可推出$l_1\perp{l_2}$

• 综上,平面内任意两条直线$l_1,l_2$垂直的条件是$A_1A_2+B_1B_2=0$,即式(2-2)

直线垂直对应的斜率关系

• 设$l_1,l_2$的斜率存在且分别为$k_1,k_2$,则$k_1=-\frac{A_1}{B_1}$,$k_2=-\frac{A_2}{B_2}$,则$k_1k_2=\frac{A_1A_2}{B_1B_2}$,
• 由式(2-2),$A_1A_2=-B_1B_2$,从而$k_1k_2=-1$(3)
• 这就是说,两条斜率存在的直线$l_1,l_2$垂直的条件是$k_1k_2=-1$

直线垂直判断算法

• 由两直线的一般方程为$A_i,B_i$,$(i=1,2)$赋值($A_i,B_i$不同时为0)
• 计算$M=A_1A_2+B_1B_2$
• 若$M=0$,则$l_1\perp{l_2}$,否则不垂直
• 例:

• $2x-4y-7=0$和$2x+y-5=0$;M=$2\times{2}+(-4)\times{1}=0$,可知两直线垂直

直线垂直对应的方程关系

• $Ax+By+C_1=0$,与直线$Bx-Ay+C_2=0$垂直
• 证明:

• 因为$M=AB+B(-A)$=0,因此两直线垂直

• 一般的,直线$Ax+By+C=0$垂直的直线可以设为$Bx-Ay+D=0$