相邻组合问题和分组组合问题

文章目录

• 相邻组合问题

• 捆绑法和插入法

• 例子🎈

• 分组问题

• 均匀分组

• 最简单的均匀分组:
• 问题模型

• 不均匀分组
• 局部均匀分组

• 综合
• 例题

相邻组合问题

捆绑法和插入法

• 在组合数学中，捆绑法和插入法是排列组合的推广，主要用于解决相邻组合与不相邻组合的问题。

例子🎈

• 若有A,B,C,D,E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少种排队方法？

• 将A和B两个人捆绑，对(A,B),C,D,E进行排列，

• (A,B)内部排列有$P_2^2$种排法，记$X=(A,B)$
• X,C,D,E有$P_4^4=4!=24$种排法
• 由乘法原理,共有$S=P_2^2\times P_4^4$=$48$种

• 若有A,B,C,D,E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少种排队方法？

• 方法1:使用互补(互斥)法配合捆绑法所有排法减去相邻排法即得不相邻排法，$P_5^5-P_2^2\times P_4^4=5!-2!4!=72$
• 方法2:使用插空法,将A,B插入安全位置($X$Y$Z$),

• 其中X,Y,Z表示可以相邻的$C,D,E$的某一种排列
• 将$A,B$插入$所指的位子都能够满足$A,B$不相邻的要求
• $A,B$间又可以产生$A_2^2$种排列
• 由乘法原理有$A_3^3C_4^2A_2^2=6\times{6}\times2=72$

分组问题

• 排列组合问题通常可以分为两类:

• 如果问题本身是有序的,往往容易直接求解
• 如果问题包含了无序部分,可以先按照有序的做法进行计算,然后再去出重复的倍数即可

均匀分组

最简单的均匀分组:

• n个人,均分成n个组,每组至少一个人,有几种分法?

• 显然只有一种分法(每组一个人这一种分组方法):$\frac{A_n^n}{A_n^n}=1$
• 这种计算方法假设n个组之间有顺序之分,再除以重复的倍数得到结果
• n个人,均分成n个组,每组至少一个人,执行n个不同任务有几方法

• $A_n^n$=$\binom{n}{1}\cdots\binom{1}{1}$

• 6个人,均分为3组,有多少种方法?

• 本问题是一个无序组合问题:

• 分组之间不关系顺序
• 组内成员不关心顺序
• 只关心组内成员的构成

• 解决无序组合问题可以建立合适的有序排列模型(直接乘法原理)再去序的方式间接解决无序的组合问题
• 设三个组分别为$A_1,A_2,A_3$,并且它们是有序的
• 根据组合数计数原理,设6个人编号为1,2,3,4,5,6,从中选两个人组成一组,所有的可能有$\binom{6}{2}$=$15$种,记所有可能的二人组的集合为$S$,则$A_i\in{S},i=1,2,3$

• 划分第一组两个人时有$C_6^2$种可能,划分第二组时有$C_4^2$种可能,划分第三组时有$C_2^2$种可能

• 根据乘法原理(解决有序排列问题),$A_1,A_2,A_3$这3个组将产生$C_6^2C_4^2C_2^2$种可能
• 例如$A_1,A_2,A_3$的一种可能的取值是;$A_1$={1,2},$A_2$={3,4},$A_3$={5,6},将这个方案记为$S_0$={{1,2},{3,4},{5,6}}
• $S_0$中包含的3个元素的排列有$A_3^3=6$种,这6种排列应当视为一种分组方案
• 因此,取出排列组间排列带来的重复计数,需要除以均分的组数的全排列,即$\frac{C_6^2C_4^2C_2^2}{A_3^3}$=$15$种

问题模型

• n=km个元素均分为k组(每组m个),有多少种方法?
• 解:
• $\frac{\prod_{i=0}^{k-1}{C_{n-mi}^{m}}}{A_k^k}$
• 例如,6人分3组,$k=3,m=6/3=2$

• $\frac{\prod_{i=0}^{3-1}{C_{6-2i}^2}}{A_3^3} =\frac{C_6^2C_4^2C_2^2}{6}=15$

不均匀分组

• 将6个人分成3个组,各有$3,2,1$个人,有多少种方法?

• 根据组合数和乘法原理,有$C_6^3C_3^2C_1^1$=$60$
• 由于3个组每个组的人数互不相等,因此不需要去序

局部均匀分组

• n个元素作局部均匀分组,分为s=$m+t$个组

• 前m个组的元素数目:$n_1=n_2=\cdots=n_p$将其记为$m$,其余组元素各不相同,不妨设$r_1<r_2<\cdots<r_q$,$m\neq{r_j};j=1,2,\cdots,q$
• 均匀部分:假设s个组有序,那么均匀分组的前p个组有$\prod_{i=0}^{p-1}C_{n-mi}^{m}$可能,其中包含了一个重复倍数$A_p^p$
• 严格不均匀部分:后剩余的t个组仍然按照分组和连乘的方式计算,但是不需要除以重复倍数(因为各组的元素数目不同)

• 这部分可能又包含了一个局部均匀分组问题,递归的做下去即可

• 例如,10个不同的人,需要分为6个组,前3个组每组3个人,第4,5组每组2个人;第6组2个人:

• $\frac{(C_{10}^2C_8^2C_6^2)(C_4^1C_3^1)C_2^2}{A_3^3A_2^2}$

综合

• 6个人分成3组,每组至少1个人,有多少种分法?

• 分为3类情况
• 6=1+1+4
• 6=1+2+3
• 6=2+2+2
• 第1类是局部均匀分组

• $\frac{C_6^1C_5^1C_4^4}{A_2^2}=15$

• 第2类是不均匀分组

• $C_6^1C_5^2C_3^3$=60

• 第3类是均匀分组:

• $\frac{C_6^2C_4^2C_2^2}{A_3^3}$=15

• 由加法原理合计有$90$种

例题

• 某交通岗有3人,从每周7天中,每天安排1人值班,每人至少值班2天,不同的排法种数(D)?
  A:5040
  B:1260
  C:210
  D:630
• 解:由于每个人至少值两天班,我们将7天拆分为$7=\sum_{i=1}^{3}{x_i},x_i\geqslant{2}$,其中$x_i$是分配给某个值班人员的天数

• 本例中,$7\%2=3\cdots1$,可见7可以分解为$2+2+(2+1)$,即{2,2,3}
• 将7天中的2天分配给员工1有$C_7^2$种情况
• 将剩余的$5$天中的2天分配给员工2有$C_5^2$种情况
• 将剩余的3天分全部分配给第3个员工有$C_3^3$种情况
• 注意到第1个员工和第2个员工分配到的天数是相同的,

• 意味着可以对调两个员工的值班日期从而产生新的安排方法
• 员工1,2,3的值日天数的不同组合可能;

1. {2,2,3}
2. {2,3,2}
3. {3,2,2}

• 上述3种分割方案都可以产生$C_7^2C_5^2C_3^3$种情况(3个集合都属于允许元素重复的特殊集合:多重集)
• 所以共有$3C_7^2C_5^2C_3^3$种方案
• 分割方案还可以通过$\frac{A_3^3}{A_2^2}=3$来计算(不尽相异物)这里将包含{2,2,3}的多重集中的两个2作区别:$2_1,2_2$
• ${2_1,2_2}$做排列(有$A_2^2$种),不改变多重集,例如{$2_1,2_2,3$}={$2_2,2_1,3$}

• $\frac{C_{7}^{2}C_{5}^{2}C_3^3}{A_{2}^{2}}A_{3}^{3}$=630