AA@多元多项式@字典排列法

文章目录

• 多元多项式

• n元单项式

• 单项式次数

• n元多项式

• 齐次多项式

• n元多项式环
• 字典排列法

• 单项式对应的数组(元组)

• 基于数组定义的字典排序规则

• 先后关系和传递性
• 首项

• 首项分解定理

• 推论
• 推论

• m次多项式的m个不同次齐次成分求和表示

多元多项式

n元单项式

• 设P是一个数域,$x_i,i=1,2,\cdots,n$是n个文字,形如$a\prod_{i=1}^{n}x_i^{k_i}$的式子(其中$a\in{P}$,$k_i,i=1,2,\cdots,n$是非负整数),称为一个单项式

单项式次数

• $K=\sum_{i=1}^{n}k_i$称为单项式的次数
• 若两个单项式中的相同文字的幂$k_i,i=1,2,\cdots,n$全一样,则它们为同类项

n元多项式

• 若干单项式的和称为"$n$元多项式",或者简称多项式

• $f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{k_1,\cdots,k_n}\large{a}_{\normalsize{k_1k_2\cdots{k_n}}} \normalsize\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{k_i} \\ f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{j=1}^{m}a_j\prod_{i=1}^{n}x_i^{k_i}$

• 例如

• $5x_1^3x_2x_3^2+4x_1^2x_2^2x_3$

齐次多项式

• 若多项式$f(X)=\sum_{i=1}^{n}f_i(X)$的每个单项式$f_i(X)$的次数都等于m,则称$f(X)$为m次齐次多项式

• 例如:$f(X)=2x_1x_2x_3^2+x_1^2x_2^2$是一个4次齐次多项式

• 两个齐次多项式之积仍然式齐次多项式:$f_1(X),f_2(X)$分别是$m_1,m_2$次齐次多项式,则$f(X)=f_1(X)f_2(X)$是齐$m_1+m_2$次多项式

n元多项式环

• 所有系数在数域P中的n元多项式全体,称为数域P上的$n$元多项式环,记为$P[x_1,\cdots,x_n]$
• 当一个多项式表示为一些不同类型的单项式的和,其中系数不为0的单项式的最高次数称为(代表)这个多项式的次数
• 例如$5x_1^3x_2x_3^2+4x_1^2x_2^2x_3$的次数为6

字典排列法

• 这种方法模仿字典排列的原则得出

单项式对应的数组(元组)

• 每一类单项式都对应于一个$n$元有序数组$(k_1,k_2,\cdots,k_n)$,简写作$(k_i)$,其中$k_i\in\mathbb{N^+},i=1,2,\cdots,n$
• 设有数组,$K=(k_i),L=(l_i),i=1,2,\cdots,n$,
• 它们的差数组记为$(\delta_i)=(k_i-l_i),i=1,2,\cdots,n$
• 例:$2x_1x_2^2x_3^3$对应的n元数组为$(1,2,3)$

基于数组定义的字典排序规则

• 若$\exist{i}\leqslant{n}$,s.t. $\delta_j=0,j=1,2,\cdots,i-1$,$k_i-l_i>0$,则称元组$(k_i)$先于$(l_i)$,记为$K>L$或展开地记为$(k_1,\cdots,k_n)>(l_1,\cdots,l_n)$,这里$>$称为先于号
• 例如$(1,3,2)>(1,2,4)$
• 例如:$2x_1x_2^2x_3^3+x_1^2x_2+x_1^3$包含的3项分别记为$f_1,f_2,f_3$对应的3个元组分别为$(1,2,3)$,$(2,1,0)$,$(3,0,0)$,可知$f_3>f_2>f_1$

• 从而其字典序写法为$x_1^3+x_1^2x_2+2x_1x_2^2x_3^3$

• 由字典排序规则的定义可知,次数高的项不一定先于次数第的项,需要结合各元之间的权重判断,例如$x_1x_2x_3$,一般认为$w(x_1)>w(x_2)>w(x_3)$

先后关系和传递性

• 根据定义,任何两个数组$K,L$先后关系只可能存在以下三种可能中的一种(和数的大小关系相仿):

• $K<L$
• $K=L$
• $K>L$

• 先于号具有传递性,若$K>L,L>M$,则$K>L>M,K>M$

• 证明:

• 由条件得$k_i-l_i>0$,$l_i-m_i>0$,有$k_i-m_i=(k_i-l_i)+(l_i-m_i)>0$,所以$K>M$

首项

• 按字典排列法写出的第一个系数不为0的单项式称为多项式的首项

• 例如:$x_1^3+x_1^2x_2+2x_1x_2^2x_3^3$的首项就是$x_1^3$

首项分解定理

• 记号说明:令$X=(x_1,\cdots,x_n)$是一个n元元组,$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$可以记为$f(X)$
• 定理:当$f(X),g(X)\neq{0}$时,乘积$f(X)g(X)$的首项等于$f(X)$的首项和$g(X)$的首项之积
• 证明:

• 设$f(X)$的首项为$a_n=a\prod_{i=1}^{n}x_i^{p_i},a\neq{0}$;$g(X)$的首项为$b_n=b\prod_{i=1}^{n}x_i^{q_i},b\neq{0}$
• 记$s_n=a_nb_n=ab\prod_{i=1}^{n}x_i^{p_i+q_i}$;$h(X)=f(X)g(X)$
• 为了证明$s_n$是$h(x)$的首项,只需要证明$\delta_0=(p_i+q_i),i=1,2,\cdots,n$先于$h(X)$中其他单项式所对应的有序数组即可

• $a_n,b_n$的元组分别为$(p_i),(q_i),i=1,2,\cdots,n$
• 设$f(X),g(X)$非首项($a_n$,$b_n$)中的第j项对应的元组为$(l_{ji}),(k_{ji}),j=1,2,\cdots,n-1;i=1,2,\cdots,n$

• 不强调第j项时可以简写为$(l_i),(k_i)$

• 有$(p_i)>(l_{i})$,$(q_i)>(k_i)$
• $\delta_0$之外的有序数组有3类可能:$\delta_1$=$(p_i+k_i)$,$\delta_2$=$(l_i+q_i)$,$\delta_3$=$(l_i+k_i)$,$i=1,2,\cdots,n$

• 根据乘法分配律,$f(X)=\sum_{j=1}^{m}a_j\prod_{i=1}^{n}x_i^{k_i}$,$g(X)=\sum_{j=1}^{m}b_j\prod_{i=1}^{n}x_i^{k_i}$,$h(X)=f(X)g(X)$的展开式,无论是否合并同类项,各项的对应的元组只可能时$\delta_i,i=0,1,2,3$这些情况
• 而$\delta_{0}>\delta_1,\delta_2,\delta_3$因此$s_n$就是$h(X)$的首项

• Note:实际上,有$\delta_0>\delta_1,\delta_2>\delta_3$

推论

• 若$f_i\neq{0}(i=1,2,\cdots,m)$则$F_m=\prod_{i=1}^{m}f_i$的首项$A_m$等于$f_i$的首项$a_{in}(i=1,2,\cdots,m)$的乘积$\prod_{i=1}^{m}a_{in}$
• 证明:由数学归纳法容易证明

• m=2时,由本节定理,结论显然成立
• 设$m=k$时结论成立,则$A_{k}$=$\prod_{i=1}^{k}a_{in}$

• 当$m=k+1$时,$F_{k+1}=\prod_{i=1}^{k+1}f_i$=$f_{k+1}\prod_{i=1}^{k}f_{i}$,由本节定理,$F_{k+1}$的首项$A_{k+1}$=$a_{k+1,n}A_k$代入归纳假设条件,有$\prod_{i=1}^{k+1}a_{in}$
• 而$f_i,i=1,2,\cdots,k+1$首项的乘积也是$\prod_{i=1}^{k+1}a_{in}$
• 所以命题成立

推论

• 若$f(X),g(X)\neq{0}$,则$f(X)g(X)\neq{0}$

m次多项式的m个不同次齐次成分求和表示

• 任何$m$次多项式$f(X),X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$都可以唯一地表示为$f(X)=\sum_{i=0}^{m}f_i(X)$,其中:

• $f_i(X)$是$i$次齐次多项式,称为$f(X)$的$i$次齐次成分

• 结论表明,m次多项式$f(X)$可以表示为$m+1$个齐次多项式之和,并且这m个齐次多项式的次数分别是$0,1,2,\cdots,m$地互不相同
• 若$g(X)=\sum_{j=0}^{l}g_j(X)$,是一个$l$次多项式,那么乘积$h(X)=f(X)g(X)$的$k$次齐次成分$h_k(X)=\sum_{i+j=k}f_i(X)g_j(X)$,$k\in\{0,1,2,\cdots,m+l\}$

• 特别地,$h(X)$的最高齐次成分为$h_{m+l}(X)=f_m(X)g_l(X)$,这是一个$m+l$次齐次多项式

• 由齐次展开$f_p(X)>f_q(X),p>q$;$g_r(X)>g_s(X),r>s$,因此$h_{m+l}(X)$是唯一的最高次(m+l)次项,其余项的次数严格小于$m+l$

• 可见,多元多项式乘积的次数等于因子的次数之和,和一元多项式相仿.

• 例如,$f(X)=x_1^3x_2^2x_3+2x_1^2x_2^3x_3+x_1^2x_2^2x_3+3x_1x_2^2x_3^3+5x_1x_2^2x_3^0$是一个符合字典排列的多项式

• 用齐次成分求和表示法:$f(X)=\sum_{i=0}^{6}f_i(X)$

• $f_0(X)=0$
• $f_1(X)=0$
• $f_2(X)=0$
• $f_3(X)=5x_1x_2x_3^0$
• $f_4(X)=0$
• $f_5(X)=x_1^2x_2^2x_3$
• $f_6(X)=x_1^3x_2^2x_3+2x_1^2x_2^3x_3+3x_1x_2^2x_3^3$