AA@数域和多项式

文章目录

• 数域

• 封闭运算
• 用封闭运算描述数域

• 多项式

• 数域P上的多项式
• 多项式中的相关术语
• 多项式相等
• 零多项式
• 多项式之间的运算

• 加法(减法)
• 乘法

• 多项式运算的次数性质

• 运算律

• 一元多项式环
• 带余除法

• 整除

• 因式和倍式
• 整除的常用性质

• 相互整除
• 整除的传递性

• 组合式依然整除

数域

• 设Р是由一些复数组成的集合,其中包括0与1.如果P中任意两个数(这两个数也可以相同)的"和,差,积,商"(除数不为0)仍然是Р中的数,那么Р就称为一个数域.

• 有理数,实数和复数都是数域(分别用字母$\mathbb{Q,R,C}$表示)
• 然而,全体正数($Z$)就不是数域,因为存在两整数之商不是整数的情况(不是任意两个整数的商都是整数)

封闭运算

• 如果数的集合Р中任意两个数做某一运算的结果仍在Р中,我们就说数集Р对这个运算是封闭的

用封闭运算描述数域

• 数域的定义也可以说成,如果一个包含0,1在内的数集Р对于加法、减法﹑乘法与除法(除数不为0)是封闭的,那么Р就称为一个数域.

多项式

• 在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给定的数域P作为基础.设$x$是一个符号:

数域P上的多项式

• 设$n$是一个非负整数,形如表达式$E=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}\cdots+a_0=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$;其中$a_i\in{P},i=1,2,\cdots,n$,则称$E$为系数在数域P中的一个元多项式,简称数域P上的一元多项式

多项式中的相关术语

• 多项式E中,$a_ix^{i}$称为**$i$次项**,$a_i$称为该项的系数
• 通常用$f(x),g(x),\cdots$或$f,g,\cdots$来表示多项式
• $a_nx^{n}$称为多项式E的首项,$a_{n}$称为首项系数,$n$称为多项式的次数
• 多项式$f(x)$的次数记为$\partial{f(x)}$(默认$f(x)\neq{0}$)

多项式相等

• 如果在多项式$f(x)$与$g(x)$中,同次项的系数全相等,那么$f(x)$与$g(x)$就称为相等,记为$f(x)= g(x)$.

零多项式

• 系数全为零的多项式称为零多项式,记为0.($f(x)=0$)
• 零多项式不定义次数
• 区别于常数多项式,例如$f(x)=ax^0=a(a\neq{0})$是0次多项式,但不是零多项式

多项式之间的运算

• 设$f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$,$g(x)=\sum_{j=0}^{m}b_jx^j$
• 记$s=\max{(n,m)}$
• 为了方便起见,要对齐两个多项式,将次数较低的多项式的高次项系数设置为0

加法(减法)

$f(x)\pm g(x)=\sum_{i=0}^{s}(a_{i}\pm b_{i})x^{i}$

乘法

• $\begin{aligned} S=&f(x)g(x)\\ =&(\sum_{i=0}^{n}a_ix^i)(\sum_{j=0}^{m}b_jx^j) \\ =&\sum_{i=0}^{n}[a_ix^i(\sum_{j=0}^{m}b_jx^j)] \\ =&\sum_{i=0}^{n}[(\sum_{j=0}^{m}a_ib_jx^{i}x^j)] \\ =&\sum_{i=0}^{n}[(\sum_{j=0}^{m}a_ib_jx^{i+j})] \\ =&\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_ib_jx^{i+j} \end{aligned}$

• 为例便于引用,该形式称为形式1($S_1$)
• 从上述求和式可以看出,S的次数为$m+n$(最高次项的次数)
• 并且每项都形如$a_ib_jx^{i+j}$

• 从高次到低次排列各项
• $f(x)g(x) =c_rx^{n+m}+c_{r-1}x^{n+m-1}+\cdots+c_{1}x^{1}+c_0x^{0}$

• $c_r=a_nb_m$
• $c_{r-1}=a_{n-1}b_{m}+a_{n}b_{m-1}$
• $c_{r-2}=a_{n}b_{m-2}+a_{n-1}b_{m-1}+a_{n-2}b_{m}$
• $\cdots$
• $c_{s}=a_{0}b_{s}+a_{1}b_{s-1}+\cdots+a_{s-1}b_{1}+a_{s}b_0$
• $\cdots$
• $c_1=a_0b_1+a_1b_0$
• $c_0=a_0b_0$
• 设$s,s=0,1,\cdots,n+m$,则次数为$s$的项(s次项)的系数还可以写作

• $c_s=\sum_{i+j=s}a_ib_j=\sum_{i=0}^{s}a_ib_{s-i}$

• 根据上述讨论,$S$还可以表示为

• $S=f(x)g(x) =\sum_{s=0}^{n+m}c_sx^{s} =\sum_{s=0}^{n+m}(\sum_{i+j=s}a_{i}b_{j})x^{s}$
• 将这个形式称为形式2($S_2$)
• 其中内层求和表示项系数,外层求和表示从0次项求和到$n+m$次项

• 形式$S_1=S_2$,但是$S_1$表示的是尚未合并同类项时的形式(由乘法对加法的分配律得到);$S_2$则考虑的时合并同类项之后的形式
• 综上可得,数域P上的两个多项式经过"加/减/乘"等运算后(未包含除法),结果仍然是数域P上的多项式

多项式运算的次数性质

• $\partial(f(x)\pm{g(x)})\leqslant{\max(\partial{(f(x))},\partial{(g(x))})}$
• $f(x),g(x)\neq{0}\Rightarrow{f(x)g(x)\neq{0}}$;$\partial{(f(x)g(x))}=\partial{(f(x))}+\partial{(g(x))}$

运算律

1．加法交换律

• $f( x )+g( x)= g(x)+f( x ).$

2.加法结合律

• $(f(x)+g(x ) )+h(x)=f(x )+(g( x )+h( x ) ).$

3.乘法交换律

• $f(x )g(x)= g( x )f( x ).$

4.乘法结合律

• $(f(x)g(x ))h( x)=f(x )(g( x )h( x ) ).$

5.乘法对加法的分配律

• $f(x )(g(x )+h(x) )=f(x )g(x )+f(x)h( x ) .$

6.消去律

• $f(x)g(x)=f(x)h(x),f(x)\neq{0}\Rightarrow{g(x)=h(x)}$

这些规律都很容易证明.下面只给出乘法结合律的证明.

• $LHS=(\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_{i}b_jx^{i+j})\sum_{k=0}^{l}c_kx^{k} =(\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}\sum_{k=0}^{l}a_{i}b_jx^{i+j}c_kx^{k}) \\ =(\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}\sum_{k=0}^{l}a_{i}b_jc_kx^{i+j+k})$
• $RHS=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}(\sum_{j=0}^{m}\sum_{k=0}^{l}b_jc_kx^{j+k}) =(\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}\sum_{k=0}^{l}a_{i}b_jc_kx^{i+j+k})$
• 也可以从系数的角度证明
• $f(x)g(x)$的$s$次项系数$c_s=\displaystyle\sum_{i+j=s}a_ib_j$,$s=0,1,2,\cdots,m+n$
• 则LHS的$t$次项系数($t=0,1,2,\cdots,m+n+l)$为

• $q_t=\displaystyle\sum_{s+k=t}c_sc_k =\displaystyle\sum_{s+k=t}(\sum_{i+j=s}a_ib_j)c_k=\sum_{i+j+k=t}a_ib_jc_k$

• $g(x)h(x)$中$r$此项系数($r=0,1,2,\cdots,m+l)$为$c_r=\displaystyle\sum_{j+k=r}b_{j}c_{k}$
• RHS的$t$次项系数为

• $q_t=\sum_{i+r=t}c_ic_r =\sum_{i+r=t}(\sum_{j+k=r}b_{j}c_{k})c_r=\sum_{i+j+k=t}a_{i}b_{j}c_{k}$

• 可见,LHS和RHS的$t$次项系数对应相等,因此$LHS=RHS$

一元多项式环

• 所有系数在数域Р中的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多项式环,记为$P[x]$,
• P称为$P[x]$的系数域.

带余除法

• 对于$P[x]$中任意两个多项式$f(x)$,$g(x)$,其中$g(x)\neq0$,一定有$P[x]$中的多项式$q(x),r(x)$存在,使得:

• $f(x)=q(x)g(x)+r(x)$
• 其中$\partial(r(x))<\partial(g(x))$或者$r(x)=0$,并且$q(x),r(x)$是唯一的

• 次数$\partial(r(x))$不包括$r(x)=0$的情况,因为0多项式没有次数定义,所以单独指出$r(x)=0$这个可能

• 带余除法中所得的$q(x)$称为$g(x)$除$f(x)$的商式,$r(x)$称为$g(x)$除$f(x)$的余式,它们分别简称为商和余

• 若$g(x)\neq{0},g(x)|f(x)$,则$q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

整除

• 设$h(x)$,$f(x),g(x)$是数域P上的多项式,如果$h(x)$使等式$f(x)=g(x)h(x)$成立,则称$g(x)$整除$f(x)$,用$g(x)|f(x)$

因式和倍式

• 当$g(x)|f(x)$时

• $g(x)$称为$f(x)$的因式
• $f(x)$称为$g(x)$的倍式
• 即因式|倍式(因式整除倍式,倍式=因式乘以另一个因式)

• 当$g(x)\neq{0}$时,带余除法给出整除性的判别法:

• 对于数域P上的任意$f(x)$,$g(x)$,其中$g(x)\neq{0}$,$g(x)|f(x)$的充要条件是$q(x)=f(x)/g(x)$的余式为0(容易根据整除的定义证明)
• 带余除法中,$g(x)\neq{0}$,但是$g(x)|f(x)$是允许$g(x)=0$出现,此时$f(x)=g(x)\cdot{h(x)}=0h(x)=0$

整除的常用性质

• 任意多项式$f(x)$整除其自身:$f(x)|f(x)$,因为$f(x)=1\cdot{f(x)}$
• 任意多项式$f(x)$整除0多项式:$f(x)|0$,因为$0=0\cdot{f(x)}$
• 任意零次多项式$a$,也即非0常数,能整除任意多项式,$a|f(x)$,因为$f(x)=a\cdot{a^{-1}f(x)}$

• 注意零次多项式和零多项式是不同的,尽管它们都是常数,但是零次多项式要求是非0常数,零多项式是且仅是0

相互整除

• 如果$f(x)|g(x)$,$g(x)|f(x)$,则$f(x)=cg(x)$,其中常数$c\neq{0}$

• 由条件可设$g(x)=h_1(x)f(x)$,$f(x)=h_2(x)g(x)$,将第一个式子带入第二式:$f(x)=h_2(x)h_1(x)f(x)$
• 若$f(x)=0$,则$g(x)=h_1(x)f(x)=0$,满足$f(x)=cg(x)=0$
• 若$f(x)\neq{0}$,则可以多$f(x)=h_1(x)h_2(x)f(x)$两边同除以$f(x)$,得到$h_1(x)h_2(x)=1$
• 由于多项式$h_1(x)h_2(x)$的乘积式常数(0次项),所以$h_1(x),h_2(x)$的次数之和为0,即$\partial(h_1(x))+\partial(h_2(x))=0$
• 又因为多项式的各项次数至少为0(非负,即$\partial(h_1(x))\geqslant0,\partial(h_2(x))\geqslant{0}$),从而$\partial(h_1(x))=\partial(h_2(x))=0$
• 综上,$h_1(x),h_2(x)$都是非0常数,
• 设$c=h_2(x)$因此对于$f(x)=h_2(x)g(x)=cg(x)$

整除的传递性

• 若$f(x)|g(x),g(x)|h(x)$,则$f(x)|h(x)$

• 由条件,可设$g(x)=g_1(x)f(x)$,$h(x)=h_1(x)g(x)$
• $h(x)=h_1(x)g(x)=h_1(x)g_1(x)f(x)$,即$f(x)|h(x)$

组合式依然整除

• 若$f(x)|g_i(x)$,$i=1,2,\cdots,r$,$G(x)=\sum_{i=1}^{r}u_i(x)g_i(x)$,则$f(x)|G(x)$

• 其中$u_i(x)$是数域P上任意的多项式
• 由$f(x)|g_i(x)$,可设$g_i(x)=h_i(x)f(x)$
• 则$G(x)=\sum_{i=1}^{r}u_i(x)g_i(x)=\sum_{i=1}^{r}u_i(x)h_i(x)f(x)=f(x)(\sum_{i=1}^{r}u_i(x)h_i(x))$
• 可见$f(x)|G(x)$

• $g(x),cg(x)$有相同的因式和倍式

• $g(x),cg(x)$具有相同的因式,常数$c\neq{0}$,

• 设$f(x)|g(x)$,则可设$g(x)=h(x)f(x)$,从而$cg(x)=ch(x)f(x)$,显然$f(x)|cg(x)$
• 设$t(x)|cg(x)$,则可设$cg(x)=s(x)t(x)$,从而$g(x)=c^{-1}g(x)=c^{-1}s(x)t(x)$,显然$t(x)|g(x)$
• 综上$g(x)$的因式全部是$cg(x)$的因式,反之,$cg(x)$的因式全部是$g(x)$的因式,
• 因此,$g(x),cg(x)$具有相同的因式

• 设$f(x)|g(x)$,则可设$g(x)=h(x)f(x)$,即$g(x)=c^{-1}ch(x)f(x)=c^{-1}h(x)cf(x)$,即$cf(x)|g(x)$,即$f(x)$的倍式也是,$cf(x)$的倍式
• 设$cf(x)|g(x)$,则可设$g(x)=t(x)cf(x)$,即$g(x)=ct(x)f(x)$,即$f(x)|g(x)$,即$cf(x)$的倍式也是$f(x)$的倍式
• 因此$f(x),cf(x)$有相同的倍式

• 在多项式整除性的讨论中,$f(x)$通常可以用$cf(x)$代替
• 我们把$G(x)$称为$g_i(x),i=1,2,\cdots,r$的一个组合