文章目录
- 概率基础不等式
- 切比雪夫不等式
- 推导
- 依概率收敛
- 定义
- 直观解释
- 特点
- 服从大数定律
- 大数定律
- chebyshev LLN
- 应用
- bernoulli LLN
- 意义
- Khinchin LLN
- 总结
概率基础不等式
切比雪夫不等式
- chebyshev’s inequality
- 通过方差来估计:随机变量的取值和期望之间的偏差大于某个正数的概率
- chebyshev不等式给出了这个概率的上界
- 设随机变量X的方差存在:()
- 根据概率的规范性,可写出chebyshev不等式的两种形式:
推导
- 推导(连续型情况)
- chebyshev inequality的推导在于利用事件
- 从而:,利用这个不等式进行放缩被积函数
依概率收敛
定义
- A是一个常数
- 从极限的角度,也就是说符号
直观解释
- 以概率收敛的直观解释:
- 描述的是在概率意义下的收敛性
特点
- 从形式上看,依概率收敛的定义中,被求极限的概率表达式部分:很符合chebyshev不等式中的形式
服从大数定律
- 则称服从大数定律
大数定律
- Law of large numbers(LLN)
- 事件A发生的频率具有稳定性:
- 当试验次数n增大,频率将稳定于某一个常数(这个常数就A发生的概率:P(A))
- 例如:做测量的时候,重复测量n次,得到的数值分别记为
- 一般测量试验的随机变量服从正态分布:设为
- 从这个角度上看,当n充分大的时候,方差趋近于0
- ,体现的是大量试验中平均结果的稳定性
- 下面是推导过程:
- 前面说到的大量试验中平均结果的稳定性,
- 用大数定律,以严格的数学语言表达了随机现象在大量试验中所呈现出的统计规律性
- 频率的稳定性
- 平均结果的稳定性
chebyshev LLN
- 推导:(可以由chebyshev不等式进行推导)
应用
- 回到前面提到的多次测量取平均值的期望和方差问题:
- 当试验次数n趋于无穷大的时候,实际测量值的算数平均值依概率收敛于
- 揭示了平均结果具有稳定性
- 测量中,常用多次重复测量所得到的观测值的算数平均值作为被测量值的近似值
bernoulli LLN
- 🎈
- 在每次试验中,事件A发生的概率是
- 推导:
意义
- bernoulli LLN揭示了频率与概率之间的关系
- 当试验条件不变的时候,多次重复试验中,随机事件出现的频率将依概率收敛于随机事件的概率p
- 从而,以频率估计(接近)概率的这一直观经验有了严格的数学意义
- 也就是频率的稳定性在理论上得到证明
- 是实践中,用频率估计概率的依据
Khinchin LLN
- 辛钦大数定律告诉我们,chebyshev LLN中要求的随机变量序列相互独立这条件在某些情况下是多余的
- 样本数量越多,则其算术平均值就有越高的概率接近期望值。
- 相比于chebyshev大数定律,具有更广的使用范围(证明需要专业知识)
- 设是独立同分布的随机变量序列
- 揭示了n足够大的时候,可以用各次试验结果对应的随机变量的均值估计期望
总结
- 换言之,事件发生的频率依概率收敛于事件的总体概率。
该定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性,也就是说当很大时,事件发生的频率于总体概率有较大偏差的可能性很小