PT_常见分布的数学期望&方差

文章目录

• ​​常见分布的数学期望&方差​​

• ​​0-1分布​​
• ​​二项分布​​
• ​​Possion分布​​
• ​​几何分布​​
• ​​均匀分布​​
• ​​指数分布​​
• ​​正态分布​​

常见分布的数学期望&方差

• $E(X)=\sum\limits_{i=1}^{+\infin}x_kp_k \\ E(X^2)=\sum\limits_{i=1}^{+\infin}x_k^2p_k \\ D(X)=E(X^2)-E^2(X) \\连续型: \\E(X)=\int_{-\infin}^{+\infin}xf(x)dx \\E(Z)=\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}g(x,y)f(x,y)dxdy$

0-1分布

• $P(X=x_k)=p^{x_k}(1-p)^{1-x_k},x_k=0,1$

• $E(X)=p \\ D(X)=p(1-p)$

二项分布

• $X\sim{B(n,p)}$

• $随机变量X是n重bernoulli试验中事件A发生的次数$

• 设相互独立的随机变量
• $X_k= \begin{cases} 1,&A在第k次试验发生了 \\0,&else \end{cases} \\ k=1,2,\cdots,n,对应了n个相互独立的随机变量, \\X_k\sim{B(1,p)} \\$

• $X=\sum\limits_{k=1}^{n}X_i \\E(X_k)=p; \\D(X_k)=p(1-p) \\E(X)=E(\sum\limits_{k=1}^{n}X_i)=\sum\limits_{k=1}^{n}E(X_k)=np \\D(X)=D(\sum\limits_{k=1}^{n}X_i)=\sum\limits_{k=1}^{n}D(X_k)=np(1-p)$

Possion分布

• $X\sim{P(\lambda)}$

• $E(X)=\lambda;D(X)=\lambda$
• $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \\ E(X)=\sum_{k=0}^{+\infin} k\cdot{\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}} \\=0+\sum_{k=1}^{+\infin} k\cdot{\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}} \\=\sum_{k=1}^{+\infin} 1\cdot{\frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda}} \\=\sum_{k=1}^{+\infin} 1\cdot{\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\lambda{e^{-\lambda}}} \\=\lambda{e^{-\lambda}}\sum_{k=1}^{+\infin} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \\=\lambda{e^{-\lambda}}\sum_{k=0}^{+\infin} \frac{\lambda^{k}}{k!}$
• $根据Taylor级数: \\e^x=\sum_{k=0}^{+\infin}\frac{x^k}{k!} \\自变量字母取\lambda \\e^\lambda=\sum_{k=0}^{+\infin}\frac{\lambda^k}{k!} \\E(X)=\lambda{e^{-\lambda}}\sum_{k=0}^{+\infin} \frac{\lambda^{k}}{k!}=\lambda{e^{-\lambda}}e^\lambda=\lambda$

• $D(X)$:

• $E(X^2):$
• $E(X^2)=\sum\limits_{k=0}^{+\infin} k^2\cdot\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \\=e^{-\lambda}\sum\limits_{k=0}^{+\infin}k^2\cdot\frac{\lambda^{k}}{k!} \\\\ \sum\limits_{k=0}^{+\infin}k^2\cdot\frac{\lambda^{k}}{k!} =0+\sum\limits_{k=1}^{+\infin}k^2\cdot\frac{\lambda^{k}}{k!} \xlongequal{k\geqslant1}\sum\limits_{k=0}^{+\infin}k^2\cdot\frac{\lambda^{k}}{k!} \\=\sum\limits_{k=1}^{+\infin}k^1\cdot\frac{\lambda^{k}}{(k-1)!} \\=\sum\limits_{k=1}^{+\infin}((k-1)+1)\cdot\frac{\lambda^{k}}{(k-1)!} \\=\sum\limits_{k=1}^{+\infin}(k-1)\cdot\frac{\lambda^{k}}{(k-1)!} + \sum\limits_{k=1}^{+\infin}1\cdot\frac{\lambda^{k}}{(k-1)!} \\=0+\sum\limits_{k=2}^{+\infin}(k-1)\cdot\frac{\lambda^{k}}{(k-1)!} +\sum\limits_{k=0}^{+\infin}\frac{\lambda^{k+1}}{(k)!} \\ \xlongequal{k-1\geqslant{1}} \sum\limits_{k=2}^{+\infin}\frac{\lambda^{k}}{(k-2)!} +\lambda\sum\limits_{k=0}^{+\infin}\frac{\lambda^{k}}{(k)!} \\=\sum\limits_{k=0}^{+\infin}\frac{\lambda^{k+2}}{(k)!} +\lambda{e^\lambda} \\=\lambda^2\sum\limits_{k=0}^{+\infin}\frac{\lambda^{k}}{(k)!} +\lambda{e^\lambda} \\=\lambda^2{e^\lambda}+\lambda{e^\lambda} \\\\ 所以E(X^2)=e^{-\lambda}(\lambda^2{e^\lambda}+\lambda{e^\lambda}) =\lambda^2+\lambda$
• $D(X)=E(X^2)-E^2(X)=(\lambda^2+\lambda)-(\lambda)^2=\lambda$

几何分布

• $E(X)=\frac{1}{p},D(X)=\frac{1-p}{p^2}$

• $P(X=k)=pq^{k-1}$

• $k=1,2,\cdots$
• $q=1-p$

• $E(X)=\sum\limits_{k=0}^{+\infin}k\cdot pq^{k-1}=\cdots=\frac{1}{p}$

• 省略推导过程,参考等差称等比的级数求和:利用导数求导法最为快速

• $E(x^2)=\sum\limits_{k=0}^{+\infin}k^2\cdot pq^{k-1} \\=p\sum\limits_{k=0}^{+\infin}k^2q^{k-1}=\cdots =\frac{q+1}{p^2}$
• $D(X)=\frac{q+1}{p^2}-\frac{1}{p}=\frac{q}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}$

均匀分布

• $E(X)=\frac{a+b}{2};D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$

• $E(X)=\int_{-\infin}^{+\infin}xf(x)\mathrm{d}x =\int_{-\infin}^{+\infin}x\cdot\frac{1}{b-a}\mathrm{d}x =\frac{1}{2}(a+b)$
  $E(X^2)==\int_{-\infin}^{+\infin}x^2f(x)\mathrm{d}x =\int_{-\infin}^{+\infin}x^2\cdot\frac{1}{b-a}\mathrm{d}x =\frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)$
  $D(X)=E(x^2)-E^2(x)=\frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)-(\frac{1}{2}(a+b))^2 \\=\frac{(b-a)^2}{12}$

指数分布

• $E(X)=\frac{1}{\lambda} \\D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$

• 指数分布

• $f(x)= \begin{cases} \lambda{e^{-\lambda{x}}},&x\geqslant{0} \\0,&else \end{cases}$

• $E(X)=\int_{-\infin}^{+\infin}xf(x)\mathrm{d}x \\=\int_{-\infin}^{+\infin}x\cdot\lambda{e^{-\lambda{x}}}\mathrm{d}x \\=\lambda\int_{0}^{+\infin}x\cdot{e^{-\lambda{x}}}\mathrm{d}x \\=\lambda\int_{0}^{+\infin}x \mathrm{d}(\frac{1}{-\lambda}{e^{-\lambda{x}}}) \\=-\int_{0}^{+\infin}x \mathrm{d}({e^{-\lambda{x}}}) \\=- \left. \left(x\cdot{e^{-\lambda{x}}} -\int{e^{-\lambda{x}}} \mathrm{d}x \right) \right|_{0} ^{+\infty} \\=- \left. \left(x\cdot{e^{-\lambda{x}}} -(-\frac{1}{\lambda}){e^{-\lambda{x}}} \right) \right|_{0} ^{+\infty} \\=- \left. e^{-\lambda{x}}(x+\frac{1}{\lambda}) \right|_{0} ^{+\infty} \\=- \left. \frac{(x+\frac{1}{\lambda})}{e^{\lambda{x}}} \right|_{0} ^{+\infty} \\=- \left. \frac{1}{\lambda e^{\lambda{x}}} \right|_{0} ^{+\infty};\\ (\lambda>0,\frac{\infin}{\infin},LHopital) \\=-(0-\frac{1}{\lambda}) =\frac{1}{\lambda}$
• $E(X^2)=\frac{2}{\lambda^2} D(X)=\frac{2}{\lambda^2}-(\frac{1}{\lambda})^2=\frac{1}{\lambda^2}$

正态分布

• 先求解标准正态分布的期望和方差
• $X\sim{N(0,1)}$

• $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-u)^2}{2}}$

• 这是一个关于x=u对称的函数

• 对于标准型正态分布密度,$u=0,\sigma=1$

• $\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}$
• $\phi是一个偶函数$

• $记g(y)=y\phi(y)则是一个奇函数$

• 这里自变量字母用y代替x,以示区别
• $由规范性得知 \int_{-\infin}^{+\infin}\phi(x)\mathrm{d}x =\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x=1 \\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x=1 \\ \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x=\sqrt{2\pi} \\$

$E(Y)=\int_{-\infin}^{+\infin}y\phi(y)=0$

$E(Y^2)=\int_{-\infin}^{+\infin}y^2\phi(y) \\=\int_{-\infin}^{+\infin}y^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}y^2}\mathrm{d}y \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}y^2e^{-\frac{1}{2}y^2}\mathrm{d}y \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}y^1e^{-\frac{1}{2}y^2}\mathrm{d}(\frac{1}{2}y^2) \\=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}y^1e^{-\frac{1}{2}y^2}\mathrm{d}(y^2) \\=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}y^1\cdot \mathrm{d}(\frac{1}{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{2}y^2}) \\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}y^1\cdot \mathrm{d}( e^{-\frac{1}{2}y^2});\\继续分部积分 \\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}( \left. y\cdot e^{-\frac{1}{2}y^2} \right|_{-\infin}^{+\infin} -\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2}y^2}\cdot \mathrm{d}y) \\LHopital \\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}( \left. \frac{y}{\Large{e}^{\small\frac{1}{2}y^2}} \right|_{-\infin}^{+\infin} -\sqrt{2\pi}) \\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}( \left. \frac{1}{2y\cdot\Large{e}^{\small \frac{1}{2}y^2}} \right|_{-\infin}^{+\infin} -\sqrt{2\pi}) \\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(0-0-\sqrt{2\pi}) \\=1$

• $D(Y)=E(Y^2)-E^2(Y)=1$

• 一般化的正态分布:

• $E(X)=\mu,D(X)=\sigma^2$

• 可以理解为:

• $X=\sigma{Y}+\mu\sim{N(\mu,\sigma^2)}$

• 当$\mu_0=0,\sigma_0=1$

• $X\sim{N(\mu_0=0,\sigma_0^2=1)} \\ Y=aX+b \\Y\sim{N(a\mu_0+b,a^2\sigma_0^2)=N(b,a^2)} \\也就是说,Y\sim{N(b,a^2)} \\换个字母表示: \\Y\sim{N(\mu,\sigma^2)}$

• $E(X)=E(\sigma{Y}+\mu)=\sigma{E(Y)+\mu}=\mu$
• $D(X)=D(\sigma{Y}+\mu)=\sigma^2D(Y)=\sigma^2$

• 可见,正态分布的连个参数恰好是数学期望和方差(标准差)

• 正态分布参数有其数学期望和方差唯一确定