前言
奇异值分解（SVD）在降维，数据压缩，推荐系统等有广泛的应用，任何矩阵都可以进行奇异值分解，本文通过正交变换不改变基向量间的夹角循序渐进的推导SVD算法，以及用协方差含义去理解行降维和列降维，最后介绍了SVD的数据压缩原理 。
目录
1. 正交变换
2. 特征值分解含义
3. 奇异值分解
4. 奇异值分解例子
5. 行降维和列降维
6. 数据压缩
7. SVD总结
1. 正交变换
正交变换公式：
上式表示：X是Y的正交变换 ，其中U是正交矩阵，X和Y为列向量 。
下面用一个例子说明正交变换的含义：
假设有两个单位列向量a和b，两向量的夹角为θ，如下图：
现对向量a，b进行正交变换：
，
的模：
由上式可知
和
的模都为1。
和
的内积：
由上式可知，正交变换前后的内积相等。
和
的夹角
：
比较（2）式和（3）式得：正交变换前后的夹角相等，即：
因此，正交变换的性质可用下图来表示：
正交变换的两个重要性质：
1）正交变换不改变向量的模。
2）正交变换不改变向量的夹角。
如果向量
和
是基向量，那么正交变换的结果如下图：
上图可以得到重要结论：基向量正交变换后的结果仍是基向量 。基向量是表示向量最简洁的方法，向量在基向量的投影就是所在基向量的坐标，我们通过这种思想去理解特征值分解和推导SVD分解。
2. 特征值分解的含义
对称方阵A的特征值分解为：
其中U是正交矩阵，
是对角矩阵。为了可视化特征值分解，假设A是2×2的对称矩阵，
，
。（2.1）式展开为：
用图形表示为：
由上图可知，矩阵A没有旋转特征向量，它只是对特征向量进行了拉伸或缩短（取决于特征值的大小），因此，对称矩阵对其特征向量（基向量）的变换仍然是基向量（单位化） 。
特征向量和特征值的几何意义：若向量经过矩阵变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩，那么该向量是矩阵的特征向量，伸缩倍数是特征值。
3. SVD分解推导
我们考虑了当基向量是对称矩阵的特征向量时，矩阵变换后仍是基向量，但是，我们在实际项目中遇到的大都是行和列不相等的矩阵，如统计每个学生的科目乘积，行数为学生个数，列数为科目数，这种形成的矩阵很难是方阵，因此SVD分解是更普遍的矩阵分解方法 。
先回顾一下正交变换的思想：基向量正交变换后的结果仍是基向量 。
我们用正交变换的思想来推导SVD分解：
假设A是M*N的矩阵，秩为K，Rank(A)=k。
存在一组正交基V：
矩阵对其变换后仍是正交基，记为U：
由正交基定义，得：
上式展开：
∴ （3.2）式得：
即假设成立 。
图形表示如下：
正交向量的模：
单位化正交向量，得：
结论：当基向量是
的特征向量时，矩阵A转换后的向量也是基向量 。
用矩阵的形式表示（3.3）式：
V是N*K矩阵，U是M*K矩阵，
是M*K的矩阵，需要扩展成方阵形式：将正交基
扩展
空间的正交基，即U是M*M方阵 。将正交基
扩展成
空间的正交基，其中
是矩阵A的零空间，即：
对应的特征值
=0，
是M*N对角矩阵,V是N*N方阵
因此（3.4）式写成向量形式为：
得：
（3.5）式写成向量形式：
令：
则：
A = XY
因为X和Y分别是列满秩和行满秩，所以上式是A的满秩分解。
（3.5）式的奇异矩阵
的值
是
特征值的平方根，下面推导奇异值分解的U和V：
即V是
的特征向量构成的矩阵，称为右奇异矩阵。
即U是
的特征向量构成的矩阵，称为左奇异矩阵 。
小结：矩阵A的奇异值分解：
其中U是
的特征向量构成的矩阵，V是
的特征向量构成的矩阵，奇异值矩阵
的值是
特征值的平方根 。
3. 奇异值分解的例子
本节用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。矩阵A定义为：
4. 行降维和列降维
本节通过协方差的角度去理解行降维和列降维，首先探讨下协方差的含义：
单个变量用方差描述，无偏方差公式：
两个变量用协方差描述，协方差公式：
多个变量（如三个变量）之间的关系可以用协方差矩阵描述：
相关系数公式：
由上式可知，协方差是描述变量间的相关关系程度：
1）协方差cov(x,y) > 0时，变量x与y正相关；
2）协方差cov(x,y)<0时，变量x与y负相关；
3）协方差cov(x,y)=0时，变量x与y不相关；
变量与协方差关系的定性分析图：
现在开始讨论
和
的含义：
假设数据集是n维的，共有m个数据，每一行表示一例数据，即：
表示第i个样本，
表示第j维特征，
表示第i个样本的第j维特征 。
由上式可知，
是描述各特征间相关关系的矩阵，所以
的正交基V是以数据集的特征空间进行展开的。
数据集A在特征空间展开为：
由上一篇文章可知，特征值表示了
在相应特征向量的信息分量。特征值越大，包含矩阵
的信息分量亦越大。
若我们选择前r个特征值来表示原始数据集，数据集A在特征空间展开为：
（4.2）式对列进行了降维，即右奇异矩阵V可以用于列数的压缩，与PCA降维算法一致。
行降维：
由上式可知：
是描述样本数据间相关关系的矩阵，因此，左奇异矩阵U是以样本空间进行展开，原理与列降维一致，这里不详细介绍了 。
若我们选择前r个特征值来表示原始数据集，数据集A在样本空间展开为：
因此，上式实现了行降维，即左奇异矩阵可以用于行数的压缩 。
5. 数据压缩
本节介绍两种数据压缩方法：满秩分解和近似分解
矩阵A的秩为k，A的满秩分解：
满秩分解图形如下：
由上图可知，存储X和Y的矩阵比存储A矩阵占用的空间小，因此满秩分解起到了数据压缩作用。
若对数据再次进行压缩，需要用到矩阵的近似分解。
矩阵A的奇异值分解：
若我们选择前r个特征值近似矩阵A，得：
如下图：
我们用灰色部分的三个小矩阵近似表示矩阵A，存储空间大大的降低了。
6. SVD总结
任何矩阵都能进行SVD分解，SVD可以用于行降维和列降维，SVD在数据压缩、推荐系统和语义分析有广泛的应用，SVD与PCA的缺点一样，分解出的矩阵解释性不强 。
