关键路径问题（Critical Path）
- 三、算法实现
AOE网（Activity On Edges）------用边表示活动的网络
1、用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系，弧表示活动，权表示活动持续的时间，顶点表示事件（活动的开始或结束时间），称这种有向图为边表示活动的网，简称AOE网。
2、AOE网用来估算工程的完成时间。
一、基本术语
源点：入度为0的顶点（只有一个）
汇点：出度为0的顶点（只有一个）
路径长度：路径上各活动持续时间之和
整个工程完成的时间：从有向图的源点到汇点的最长路径
关键路径：路径长度最长的路径
二、如何求关键路径
1、问题分析
2、求关键路径的步骤
三、算法实现
1、算法思想
（1）设每个结点的最早发生时间为0，将入度为0的结点进栈
（2）将栈中入度为0的结点V取出，并压入另一个栈，用于形成逆向拓扑排序的序列
（3）根据邻接表找到结点V的所有的邻接结点，将结点V的最早发生时间+活动的权值 得到的和同邻接结点的原最早发生时间进行比较；如果该值大，则用该值取代原最早发生时间。另外，将这些邻接结点的入度减一。如果某一结点的入度变为0，则进栈。
（4）反复执行2、3；直至栈空为止。
2、算法描述
Status CriticalPath(ALGraph G)
{
//G为邻接表存储的有向网，输出G的各项关键活动
if (!TopologicalOrder(G, topo)) return ERROR;
//调用拓扑排序算法，使拓扑序列保存在topo中，若调用失败，则存在有向环
n = G.vexnum; //n为顶点的个数
for (i = 0;i < n;i++) //给每个事件的最早发生时间置初值为0
ve[i] = 0;
/*按照拓扑次序求每个事件的最早发生时间*/
for (i = 0;i < n;i++) //for循环结束才能求得最早发生时间
{
k = topo[i]; //取得拓扑序列中的顶点序号k
p = G.vertices[k].firstarc; //p指向k的第一个邻接点
while (p != NULL) //依次更新k的所有邻接顶点的最早发生时间
{
j = p->adjvex; //j为邻接顶点的序号
if (ve[j] < ve[k] + p->weight) //更新顶点j的最早发生时间ve[j]
ve[j] = ve[k] + p->weight;
p = p->nextarc; //p指向k的下一个邻接顶点
}
}
for (i = 0;i < n;i++) //给每个事件的最迟发生时间置初值为ve[n-1]
vl[i] = ve[n - 1];
/*按逆拓扑次序求每个事件的最迟发生时间*/
for (i = n - 1;i >= 0;i--)
{
k = topo[i]; //取得拓扑序列中的顶点序号k
ArcNode* p = G.vertices[k].firstarc; //p指向k的第一个邻接顶点
while (p != NULL)
{ //根据k的邻接点，更新k的最迟发生时间
j = p->adjvex; //j为邻接顶点的序号
if (vl[k] > vl[j] - p->weight) //更新顶点k的最迟发生时间vl[k]
vl[k] = > vl[j] - p->weight;
p = p->nextarc; //p指向下一个邻接顶点
}
}
/*判断每一活动是否为关键活动*/
for (i = 0;i < n;i++)
{ //每次循环针对vi为活动开始点的所有活动
p = G.vertices[i].firstarc; //p指向i的第一个邻接顶点
while (p != NULL)
{
j = p->adjvex; //j为i的邻接顶点的序号
e = ve[i]; //计算活动<vi,vj>的最早开始时间
l = vl[j] - p->weight; //计算活动<vi,vj>的最迟开始时间
if (e == l) //若为关键活动，输出<vi,vj>
cout << G.vertices[i].data << G.vertices[j].data;
p = p->nextarc; //p指向i的下一个邻接顶点
}
}
}
