卢卡斯定理FZU - 2020 组合

目录

​​一，卢卡斯定理​​

​​二，OJ实战​​

​​FZU - 2020 组合​​

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一，卢卡斯定理

其中 0<= q,r <p

二，OJ实战

FZU - 2020 组合

题目：

Description

给出组合数C(n,m), 表示从n个元素中选出m个元素的方案数。例如C(5,2) = 10, C(4,2) = 6.可是当n,m比较大的时候，C(n,m)很大！于是xiaobo希望你输出 C(n,m) mod p的值！

Input

输入数据第一行是一个正整数T,表示数据组数 (T <= 100) 接下来是T组数据，每组数据有3个正整数 n, m, p (1 <= m <= n <= 10^9, m <= 10^4, m < p < 10^9, p是素数)

Output

对于每组数据，输出一个正整数，表示C(n,m) mod p的结果。

Sample Input

2

5 2 3

5 2 61

Sample Output

1

10

因为给出了T的上限100，m的上限10000，所以不需要数组，每次直接算出结果即可。

计算的时候需要用到逆元，这应该是必须用到的。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;

int p;

long long get_mi(int n, int k)
{
  if (k == 0)return 1;
  long long r = get_mi(n, k / 2) % p;
  r = (r*r) % p;
  if (k % 2)r = (r*n) % p;
  return r;
}


int main()
{
  int t, n, m;
  cin >> t;
  while (t--)
  {
    cin >> n >> m >> p;
    long long r = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++)r = (r*(n - i + 1) % p)*get_mi(i, p - 2) % p;
    cout << r << endl;
  }
  return 0;
}

结果AC了，不过不快，703ms

用快速幂求逆元自然是必须用到的，上述的代码只用了这个。

如果再用上卢卡斯定理，肯定会快一些，快多少就不好说了，要看给的数据是什么情况。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;

int p;

long long get_mi(int n, int k)
{
  if (k == 0)return 1;
  long long r = get_mi(n, k / 2) % p;
  r = (r*r) % p;
  if (k % 2)r = (r*n) % p;
  return r;
}

int f(int n, int m)
{
  long long r = 1;
  if (n > p)r = f(n / p, m / p)*f(n%p, m%p) % p;
  else for (int i = 1; i <= m; i++)r = (r*(n - i + 1) % p)*get_mi(i, p - 2) % p;
  return r;
}

int main()
{
  int t, n, m;
  scanf("%d", &t);
  while (t--)
  {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);
    printf("%d\n", f(n, m));
  }
  return 0;
}

然而结果还是703ms，数据体现不出这个算法的威力。