一。最小生成树
最小生成树:给定一个无向网络
在该网的所有生成树中，使得各边权值之和最小的那棵生成树称为该网的最小生成树也叫最小代价生成树。
最小生成树的典型用途：欲在n个城市间建立通信网，则n个城市应铺n-1条线路;但因为每条线路都会有对应的经济成本，而n个城市最多有n(n-1)/2条线路，那么，如何选择n-1条线路，使总费用最少?
数学模型:
顶点一表示城市， 有n个;
边一表示线路， 有n-1条;
边的权值一表示线路的经济代价;
连通网一表示n个城市间通信网
1.构造最小生成树Minimum Spanning Tree
构造最小生成树的算法很多，其中多数算法都利用了MST的性质。
MST性质:设N=(V,E)是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若边(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V-U,则必存在-棵包含边 (u, v)的最小生成树。
2.构造最小生成树方法一:普里姆(Prim)算法
算法思想介绍：
➢设N=(V, E)是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。
➢初始令U={U0}, (U0∈V), TE={ }。
➢在所有u∈U, V∈V-U的边(u, v)∈E中，找一条代价最小的边(Uo, v)。
➢将(u0, v0)并入集合TE, 同时v0并入U。
➢重复上述操作直至U=V为止，则T=(V, TE)为N的最小生成树。
3.构造最小生成树方法二:克鲁斯卡尔(Kruskal)算法。
算法思想介绍：
➢设连通网N= (V, E)，令最小生成树初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V,{}),每个顶点自成一个连通分量。
➢在E中选取代价最小的边，若该边依附的两个顶点落在T中分别不同的连通分量上(即:不能形成环)，则将此边加入到T中;否则，舍去此边，选取下条代价最小的边。
➢依此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。
此方法生成的最小生成树，可能不唯一
4.两种算法比较：
二。最短路径
典型用途:交通网络的问题一从 甲地到乙地之间是否有公路连通?在有多条通路的情况下，哪一条路最短?
交通网络用有向网来表示:
顶点一一表示地点，
弧一一表示两个地点有路连通，
弧上的权值一一表示两地点之间的距离、 交通费或途中所花费的时间等。
==>问题抽象:在有向网中A点(源点)到达B点(终点)的多条路径中，寻找一条各边权值之 和最小的路径，即最短路径。
最短路径与最小生成树不同，路径上不一定包含n个顶点，也不一定包含n-1条边。
1.Dijkstra (迪杰斯特拉)算法
算法思想：
1.初始化:先找出从源点vo到各终点vg的直达路径(Vo,Vk)即通过一条弧到达的路径。
2.选择:从这些路径中找出一条长度最短的路径(Vo,u)
3.更新:然后对其余各条路径进行适当调整:
若在图中存在弧(u,Vk) ，且(Vo,u) + (U,Vk) < (Vo,Vk),
则以路径(Vo,U,Vk) 代替(Vo,Vk)。
在调整后的各条路径中，再找长度最短的路径，依此类推。
2.Floyd (弗洛伊德)算法
所有顶点间的最短路径：
方法一:每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次。
方法二:弗洛伊德(Floyd)算法
算法思想:
●逐个顶点试探
●从v1到vj的所有可能存在的路径中
●选出一条长度最短的路径
三。拓扑排序
1.有向无环图及其应用
有向无环图:无环的有向图，简称DAG图(Directed Acycline Graph）
有向无环图常用来描述一个工程或系统的进行过程。 (通常把计划、施工、生产、程序流程等当成是一个工程)一个工程可以分为若干个子工程，只要完成了这些子工程(活动)就可以导致整个工程的完成。
AOV网:
用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系,其中以顶点表示活动，弧表示活动之间的优先制约关系，称这种有向图为顶点表示活动的网，简称AOV网(Activity On Vertex network)。
AOE网:
用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系，以弧表示活动，以顶点表示活动的开始或结束事件，称这种有向图为边表示活动的网，简称为AOE网(Activity On Edge)。
2.拓扑排序例：排课表
AOV网的特点:
- 若从i到j有一条有向路径，则i是j的前驱，j是i的后继。
- 若<i,j>是网中有向边，则i是j的直接前驱i，j 是i的直接后继。
- AOV 网中不允许有回路，因为如果有回路存在，则表明某项活动以自己为先决条件，显然这是荒谬的。
问题:如何判别AOV网中是否存在回路?---见后文。
3.拓扑排序
（1）.定义
在AOV网没有回路的前提下，我们将全部活动排列成一个线性序列， 使得若AOV网中有弧<i, j>存在，则在这个序列中， i一定排在 j的前面，具有这种性质的线性序列称为拓扑有序序列,相应的拓扑有序排序的算法称为拓扑排序。
（2）.排序方法
在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出之。从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。
重复上述两步，直至全部顶点均已输出;或者当图中不存在无前驱的顶点为止
（3）.拓扑排序的一个重要应用:
检测AOV网中是否存在环方法:
对有向图构造其顶点的拓扑有序序列，若网中所有顶点都在它的拓扑有序序列中，则该AOV网必定不存在环。
四。关键路径
1.引入
[例1]某项目的任务是对A公司的办公室重新进行装修如果10月1日前完成装修工程，项目最迟应该何时开始?
需完成的活动、活动所需时间、及先期需完成工作如图所示。
[例2]准备一个小型家庭宴会，晚6点宴会开始，最迟几点开始准备?压缩哪项活动时间可以使总时间减少?
把工程计划表示为边表示活动的网络，即AOE网，用顶点表示事件，弧表示活动，弧的权表示活动持续时间。事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。
2.具体介绍
ve(vj)表示事件vj的最早发生时间。例:ve(v1) = 0 ve(v2) = 30
vl(vj)表示事件 vj的最迟发生时间。例;vl(v4) = 165
e(i)表示活动ai的最早开始时间。例e(a3)=30
l(i)表示活动ai的最迟开始时间。例: l(a3) = 120
l(i) - e(i)一一表示完成活动 ai的时间余量。例: l(3)- e(3) = 90
关键活动一一关键路径上的活动，即l(i) == e(i)(即l(i)-e(i) ==0 )的活动。
如何求ve(j)和vl(j) ?
(1)从ve(j)= Q开始向前递推ve(j)=Max {Ve(i)+wi,j}, < i,j>∈T，2≤j≤n其中T是所有以j为头的弧的集合。
(2)从vl(n) = ve(n)开始向后递推vI(j)= Min{vl(j) - wi,j}, < i,j >∈S, 1≤i≤n- 1其中S是所有以i为尾的弧的集合。
处于所有的关键路径上的活动完成时间不能缩短太多，否则会使原来的关键路径变成不是关键路径。这时，必须重新寻找关键路径。如: a1 由6天变成3天，就会改变关键路径。
