普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索​​最小生成树​​​。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，​​艾兹格·迪科斯彻​​再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。（百度百科）

算法步骤：

假设G=(V,E)是一个具有n个顶点的带权连通无向图，T=(U,TE)是G的最小生成树，其中U是T的顶点集，TE是T的边集。

   1.初始化U={v},以v到其他顶点的所有边为候选边；

   2.重复以下步骤（n-1）次，使得其他（n-1）个顶点被加入到U中；

      a.从候选边中挑选权值最小的边加入TE，设该边在V-U中的顶点是k,将k加入U中。

      b.考察当前V-U中的所有顶点j，修改候选边，若边（k,j）的权值小于原来和顶点j关联的候选边，则用边(k,j)取代后者作为候选边。

简单证明Prim算法：

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G0

2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)   则在Gmin中存在<u,v>不属于G0

3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证




为了便于在集合U和V-U之间选择权值最小的边，建立两个数组closest和lowcost

closest[j]存储该边依附在U中的顶点编号。

lowcost[j]存储该边的权值


#include <stdio.h>
#define MAXV 100
#define INF 9999999
typedef struct
{
    int edges[MAXV][MAXV];
    int n,e;
}MGraph;
void DispMat(MGraph g)
//输出邻接矩阵g
{
    int i,j;
    for (i=0;i<g.n;i++)
    {
        for (j=0;j<g.n;j++)
            if (g.edges[i][j]==INF)
                printf("%3s","∞");
            else
                printf("%3d",g.edges[i][j]);
        printf("\n");
    }
}
void Prim(MGraph g,int v)
{
    int lowcost[MAXV],min,n=g.n;//存储该边的权值
    int closest[MAXV],i,j,k;//closeest存储对于顶点编号
    for (i=0;i<n;i++)            //给lowcost[]和closest[]置初值
    {
        lowcost[i]=g.edges[v][i];
        closest[i]=v;
    }
    for (i=1;i<n;i++)            //找出n-1个顶点
    {
        min=INF;
        for (j=0;j<n;j++)       //在(V-U)中找出离U最近的顶点k
            if (lowcost[j]!=0 && lowcost[j]<min)
            {
                min=lowcost[j];
                k=j;
            }
        printf("  边(%d,%d)权为:%d\n",closest[k],k,min);
        lowcost[k]=0;            //标记k已经加入U
        for (j=0;j<n;j++)    //修改数组lowcost和closest
            if (g.edges[k][j]!=0 && g.edges[k][j]<lowcost[j])
            {
                lowcost[j]=g.edges[k][j];
                closest[j]=k;
            }
    }
}
void main()
{
    int i,j,u=3;
    MGraph g;
    int A[MAXV][MAXV]={{0,5,8,7,INF,3},
    {5,0,4,INF,INF,INF},
    {8,4,0,5,INF,9},
    {7,INF,5,0,5,INF},
    {INF,INF,INF,5,0,1},
    {3,INF,9,INF,1,0}};
    g.n=6;g.e=10;
    for (i=0;i<g.n;i++)        //建立邻接矩阵
        for (j=0;j<g.n;j++)
            g.edges[i][j]=A[i][j];
    printf("图G的邻接矩阵:\n");
    DispMat(g);
    printf("普里姆算法求解结果:\n");
    Prim(g,0);
    printf("\n");
}


博主比较懒，还是上次的图，图中的箭头请自觉忽略。这是一个带权连通无向图，无向图，无向图！！！

Prim算法（最小生成树）_无向图

Prim算法（最小生成树）_i++_02



Prim算法（最小生成树）_i++_03