实数完备性定理小结

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前言

实数集完备性基本定理以不同的方式反映了实数的特性，即完备性(一称实数的连续性)，有理数集则不满足这些性质，这些理论也是极限理论的基础，在基础数学领域有很重要的研究价值。下面总结一下六个定理以及主要的证明思路。

预备定义

1. 区间套

设闭区间列$\big\{[a_n,\,b_n]\big\}$具有如下性质

① $[a_n,\,b_n]\supset[a_{n+1},\,b_{n+1}],\ n=1,\,2,\,\cdots$;

② $\lim\limits_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$;

则称$\big\{[a_n,\,b_n]\big\}$是闭区间套，简称区间套。

2. 聚点

设$S$为数轴上的点集，$\xi$为定点(可以属于$S$, 也可以不属于$S$). 若$\xi$的任何邻域上都含有$S$中无穷多个点，则称$\xi$为点集$S$的一个聚点。

3. 有限覆盖

设$S$为数轴上的点集，$H$为开区间的集合. 若$S$中任何一点都含在$H$中至少一个开区间内，则称$H$为$S$的一个开覆盖($H$覆盖$S$). 若$H$中开区间的个数是无限(有限)的，则称$H$为$S$的一个无限开覆盖(有限开覆盖)。

实数集完备性基本定理

1. 确界原理: 非空有上(下)界数集必有上(下)确界;
2. 单调有界定理: 有界的单调数列必有极限;
3. 区间套定理:$\big\{[a_n,\,b_n]\big\}$为一区间套, 则实数集中存在唯一点$\xi$, 使得$\xi\in [a_n,\,b_n],\,n=1,\,2,\,\cdots$;
   3.1$\bigstar$推论: 若$\xi\in [a_n,\,b_n],\,n=1,\,2,\,\cdots$是区间套$\big\{[a_n,\,b_n]\big\}$所确定的点，则对$\forall \varepsilon>0,\,\exists N>0,\,\mathrm{s.t.}$当$n>N$有$[a_n,\,b_n]\subset U(\xi;\,\varepsilon)$;
4. Heine-Borel 有限覆盖定理: 闭区间的任一开覆盖必有有限子覆盖;
5. Weierstrass 聚点定理(Bolzano 致密性定理: 有界无穷数列必有收敛子列): 实轴上有界无限点集至少有一个聚点;
6. Cauchy 收敛原理: 数列$\{a_n\}$收敛$\iff\forall\,\varepsilon>0,\exists\,N,\,\mathrm{s.t.}\,$当$n,\,m>N$有$|a_n-a_m|<\varepsilon$.

证明思路

1. 确界原理: 根据确界满足的条件构造数列，并用反证法证明；
2. 单调有界定理: 利用确界原理，构造左右两部分，用极限的定义证明；
3. 区间套定理: 由单调有界定理，结合区间套满足的条件，最后唯一性易证；
4. 有限覆盖定理: 用反证法，构造与假设一致的子区间，由区间套定理得到假设不成立；
5. 聚点定理: 法一，按照聚点满足的条件构造区间列，由区间套定理证得；法二，直接利用致密性定理和极限的定义得到；
6. Cauchy收敛原理: 必要性由极限的定义相加得到；充分性先证数列的有界性，再由致密性定理推得。