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一、自反性
自反性符号描述 :
R ⊆ A × A R \subseteq A \times A R⊆A×A
R R R 关系是 自反的
⇔ \Leftrightarrow ⇔
∀ x ( x ∈ A → x R x ) \forall x ( x \in A \to xRx ) ∀x(x∈A→xRx)
⇔ \Leftrightarrow ⇔
( ∀ x ∈ A ) x R x (\forall x \in A) xRx (∀x∈A)xRx
非自反性符号描述 :
R R R 是非自反的 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ∃ x ( x ∈ A ∧ ¬ x R x ) \exist x( x \in A \land \lnot xRx ) ∃x(x∈A∧¬xRx)
自反性文字描述 :
R R R 是 A A A 集合上的二元关系 ,
R R R 是自反的 ,
当且仅当 R R R 集合中的 , 任意 x x x 属于集合 A A A 的元素 , x x x 与 x x x 都有关系 R R R ( 必须是所有的 x x x )
非自反 文字描述 : 存在 x x x 元素 , x x x 属于 A A A 集合中的元素 , 并且 x x x 与 x x x 没有关系 ;
自反性 是验证 每个元素 与其本身 都有 R R R 关系
非自反性 只要有一个元素 与其本身 没有 R R R 关系就成立
∅ \varnothing ∅ 上的空关系 , 既是自反的 , 又是反自反的
二、自反性定理
自反性定理 :
R R R 是自反的
⇔ \Leftrightarrow ⇔
I A ⊆ R I_A \subseteq R IA⊆R
⇔ \Leftrightarrow ⇔
R − 1 是 自 反 的 R^{-1} 是自反的 R−1是自反的
⇔ \Leftrightarrow ⇔
M ( R ) M(R) M(R) 关系矩阵主对角线上的值都为 1 1 1
⇔ \Leftrightarrow ⇔
G ( R ) G(R) G(R) 关系图中每个顶点都有环
文字描述 :
R R R 是自反的
当且仅当 R R R 包含恒等关系 , I A ⊆ R I_A \subseteq R IA⊆R
当且仅当 R − 1 R^{-1} R−1 是自反的
当且仅当 M ( R ) M(R) M(R) 关系矩阵主对角线上的元素全部是 1 1 1
当且仅当 G ( R ) G(R) G(R) 关系图中每个顶点均有环
三、反自反性
反自反性 :
R ⊆ A × A R \subseteq A \times A R⊆A×A
R R R 是反自反的
⇔ \Leftrightarrow ⇔
∀ x ( x ∈ A → ¬ x R x ) \forall x ( x \in A \to \lnot xRx ) ∀x(x∈A→¬xRx)
⇔ \Leftrightarrow ⇔
( ∀ x ∈ A ) ¬ x R x (\forall x \in A) \lnot xRx (∀x∈A)¬xRx
关系图 :
自反 是每个点 都有环 ( 重点 )
非自反 是 有的有环 , 有的没有环
反自反 是每个点 都没有环 ( 重点 )
非反自反 是 有的有环 , 有的没有环
∅ \varnothing ∅ 上的空关系 , 既是自反的 , 又是反自反的
四、反自反性定理
反自反定理 :
R R R 是反自反的
⇔ \Leftrightarrow ⇔
I A ∩ R = ∅ I_A \cap R = \varnothing IA∩R=∅
⇔ \Leftrightarrow ⇔
R − 1 R^{-1} R−1 是反自反的
⇔ \Leftrightarrow ⇔
M ( R ) M(R) M(R) 主对角线上的元素都为 0 0 0
⇔ \Leftrightarrow ⇔
G ( R ) G(R) G(R) 每个顶点处都没有环
文字描述 :
R R R 是反自反的
当且仅当 关系 R R R 与 恒等关系 I A I_A IA 不相交
当且仅当 关系的逆 R − 1 R^{-1} R−1 是反自反的
当且仅当 关系矩阵 M ( R ) M(R) M(R) 主对角线上的元素全部为 0 0 0
当且仅当 关系图 G ( R ) G(R) G(R) 的每个顶点都没有环
五、自反与反自反示例
上述关系图中 , 每个顶点都有环 , 是自反的 ;
上述关系图中 , 每个顶点都没有环 , 是反自反的
上述关系图中 , 有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 什么都不是 ;
