一、题目 
给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

    例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

 

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

 

提示：

    1 <= nums.length <= 20
    0 <= nums[i] <= 1000
    0 <= sum(nums[i]) <= 1000
    -1000 <= target <= 1000
二、思路
  • 第一种思路： d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 代表前i个数组合成j的方案数，由于数可能为负数，这里设置1000的偏移量，将 [ − 1000 , 1000 ] [-1000, 1000] [−1000,1000]转化为 [ 0 , 2000 ] [0, 2000] [0,2000]。每次转移有2种状态 − n u m s [ i ] 和 + n u m s [ i ] -nums[i] 和 +nums[i] −nums[i]和+nums[i] 分别统计2种状态的所有结果即可。时间复杂度 O ( n m ) O(nm) O(nm), n 为 n u m s . s i z e ( ) , m 为 s u m ( n u m s ) n为nums.size(),m为sum(nums) n为nums.size(),m为sum(nums)。空间复杂度为 O ( n m ) O(nm) O(nm)
  • 第二种思路： s u m = n u m s sum = nums sum=nums的元素之和， p p p为所有为-号的元素之和，那么所有为+号的元素之和为 s u m − p sum - p sum−p,最终 t a r g e t = ( s u m − p ) − p = s u m − 2 p target = (sum - p) - p = sum - 2p target=(sum−p)−p=sum−2p,所以可以推出p的表达式为 p = s u m − t a r g e t 2 p=\frac{sum - target}{2} p=2sum−target​, 那么问题就转化为01背包求方案数。注意特殊情况，若target大于sum，那么直接返回0；若sum-target为奇数，那么也直接返回0，因为 2 p = s u m − t a r g e t 2p=sum-target 2p=sum−target，sum-target必为非负偶数。时间复杂度为 O ( n p ) O(np) O(np) 空间复杂度为 O ( p ) O(p) O(p)
三 、代码 
class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size();
        //vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(2001));
        int dp[21][2001] = {0};
        dp[0][1000] = 1;
        for (int i = 1; i <= nums.size(); i++) {
            int t = nums[i - 1];
            for (int j = 0; j <= 2000; j++) {
                if (j + t <= 2000) dp[i][j + t] += dp[i - 1][j];
                if (j - t >= 0) dp[i][j - t] += dp[i - 1][j];
            }
            /*
	            for (int j = t; j <= 2000 - t; j++) {
	                dp[i][j + t] += dp[i - 1][j];
	                dp[i][j - t] += dp[i - 1][j];
	            }
            */
        }
        return dp[n][target + 1000];
    }
};

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size(), sum = 0, p;
        for (int i = 0; i < n; i++) sum += nums[i];
        p = (sum - target);
        if (p < 0 || p % 2 == 1) return 0; //sum-target 必须是非负偶数,因为2p = sum - target
        p /= 2;
        int dp[1001] = {0};
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = p; j >= nums[i - 1]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i - 1]];
            }
        } 
        return dp[p];
    }
};