【证明】对称矩阵的特征值为实数

性质 1　对称矩阵的特征值为实数。

证明　设复数矩阵 $\boldsymbol{X} = (x_{ij})$，$\overline{x}_{ij}$ 为 $x_{ij}$ 的共轭复数，记 $\overline{\boldsymbol{X}} = (\overline{x}_{ij})$，即 $\overline{\boldsymbol{X}}$ 是由 $\boldsymbol{X}$

设复数 $\lambda$ 为对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，复向量 $\boldsymbol{x}$ 为对应的特征向量，即 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$，$\boldsymbol{x} \ne \boldsymbol{0}$。

用 $\overline{\lambda}$ 表示 $\lambda$ 的共轭复数，而 $\boldsymbol{A}$ 为实矩阵，有 $\boldsymbol{A} = \overline{\boldsymbol{A}}$，故
$\boldsymbol{A} \overline{\boldsymbol{x}} = \overline{\boldsymbol{A}} \overline{\boldsymbol{x}} = \overline{\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}} = \overline{\lambda \boldsymbol{x}} = \overline{\lambda} \overline{\boldsymbol{x}} \tag{1}$
于是有
$\overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \overline{\boldsymbol{x}}^T (\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}) = \overline{\boldsymbol{x}}^T \lambda \boldsymbol{x} = \lambda \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x} \tag{2}$
及根据 $(1)$ 式有
$\overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{x} = (\boldsymbol{A} \overline{\boldsymbol{x}})^T \boldsymbol{x} = (\overline{\lambda} \overline{\boldsymbol{x}})^T \boldsymbol{x} = \overline{\lambda} \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x} \tag{3}$
将 $(2)$ 式减 $(3)$ 式，得
$(\lambda - \overline{\lambda}) \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x} = 0$
因为 $\boldsymbol{x} \ne 0$，所以
$\overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x} = \sum_{i=1}^n \overline{x}_i x_i = \sum_{i=1}^n |x_i|^2 \ne 0$
故 $\lambda - \overline{\lambda} = 0$，即 $\lambda = \overline{\lambda}$，这就说明 $\lambda$