方法 2:借助快速排序 partition 过程的一趟扫描法

我们先来回顾快速排序 partition 过程:随机选择一个元素作为切分元素(pivot),然后经过一次扫描,通过交换元素的位置使得数组按照数值大小分成以下 3 个部分:

1、严格小于 pivot
2、等于 pivot
3、严格大于 pivot

根据这个操作的启发,我们也完全可以设计一个算法使用扫描一次的办法把只含有 012 的整数数组整理成 012 紧凑排列的样子。

而写对这个算法,我们需要借助“循环不变式(loop invariant)”这个概念。循环不变式是程序员根据问题的特点构造的一个断言,也就是对即将在循环中完成的事情的一个描述,这个断言在循环的开始、循环的运行过程中、循环的结束时都保持为真。循环不变式用于证明算法的正确性。

由于我们需要把数组分成三个部分,为此我需要设置两个变量作为不同部分的分界,和一个循环变量 i,于是循环不变量可以这样定义的:

  • 所有在子区间 [0, zero) 的元素都等于 0
  • 所有在子区间 [zero, i) 的元素都等于 1
  • 所有在子区间 [two, len - 1] 的元素都等于 2

(这里要画图。)

说明:设计循环不变量的原则是“不重不漏”。

1、len 是数组的长度;
2、变量 zero 是前两个子区间的分界点,一个是闭区间,另一个就必须是开区间;
3、变量 i 是循环变量,一般设置为开区间,表示 i 之前的元素是遍历过的;
4、two 是另一个分界线,我设计成闭区间。

于是编码要解决以下三个问题:

1、变量初始化应该如何定义;
2、在遍历的时候,zerotwo 应该怎样移动,是先加减还是先交换;
3、什么时候终止循环。

而解决这三个问题,完全看循环不变量的定义。

  • 编码的时候,zerotwo 初始化的值就应该保证上面的三个子区间全为空;
  • 在遍历的过程中,“索引先加减再交换”、还是“先交换再加减”就看初始化的时候变量在哪里;
  • 退出循环的条件也看上面定义的循环不变量,在 i == two 成立的时候,上面的三个子区间就正好“不重不漏”地覆盖了整个数组,并且给出的性质成立,题目的任务也就完成了。

以下给出不同的写法,循环不变量的定义写在了注释中。使用“循环不变量”编码是为了便于我们处理细节,也方便别人看懂你的算法。

参考代码 1

Java 代码:

import java.util.Arrays;


public class Solution {

    public void sortColors(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        if (len < 2) {
            return;
        }

        // all in [0, zero) = 0
        // all in [zero, i) = 1
        // all in [two, len - 1] = 2

        // 循环终止条件是 i == two,那么循环可以继续的条件是 i < two

        // 为了保证初始化的时候 [0, zero) 为空,设置 zero = 0,
        // 所以下面遍历到 0 的时候,先交换,再加
        int zero = 0;

        // 为了保证初始化的时候 [two, len - 1] 为空,设置 two = len
        // 所以下面遍历到 2 的时候,先减,再交换
        int two = len;

        int i = 0;

        // 当 i == two 上面的三个子区间正好覆盖了全部数组
        // 因此,循环可以继续的条件是 i < two

        while (i < two) {
            if (nums[i] == 0) {
                swap(nums, i, zero);
                zero++;
                i++;
            } else if (nums[i] == 1) {
                i++;
            } else {
                two--;
                swap(nums, i, two);
            }
        }
    }

    private void swap(int[] nums, int index1, int index2) {
        int temp = nums[index1];
        nums[index1] = nums[index2];
        nums[index2] = temp;
    }
}

参考代码 2

Java 代码:

public class Solution {

    public void sortColors(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        if (len < 2) {
            return;
        }
        // all in [0, zero] = 0
        // all in (zero, i) = 1
        // all in (two, len - 1] = 2

        // 为了保证初始化的时候 [0, zero] 为空,设置 zero = -1,
        // 所以下面遍历到 0 的时候,先加,再交换
        int zero = -1;

        // 为了保证初始化的时候 (two, len - 1] 为空,设置 two = len - 1
        // 所以下面遍历到 2 的时候,先交换,再减
        int two = len - 1;
        int i = 0;

        // 当 i == two 的时候,还有一个元素还没有看,
        // 因此,循环可以继续的条件是 i <= two

        while (i <= two) {
            if (nums[i] == 0) {
                zero++;
                swap(nums, i, zero);
                i++;
            } else if (nums[i] == 1) {
                i++;
            } else {
                swap(nums, i, two);
                two--;
            }
        }
    }

    private void swap(int[] nums, int index1, int index2) {
        int temp = nums[index1];
        nums[index1] = nums[index2];
        nums[index2] = temp;
    }
}