在这一章，我们要向大家介绍的是，在基础算法领域，理解起来相对较难的一种算法：贪心算法。

我们先介绍「贪心算法」适用的领域：

  • 贪心算法与动态规划算法都适用于求解最优化问题。

求解最优化问题的特点是：需要经过若干个步骤，每个步骤都面临多种选择。

而「贪心算法」是这样一种算法：在每一步都做出当时看起来最好的选择。贪心算法依然有一个比较的过程。

之所以叫「贪心」，是因为它有这样一个特点：「局部最优，则全局最优」。

使用「贪心算法」的注意事项：

1、不是任何最优化问题都可以使用贪心算法去做，「贪心算法」的使用前提是这个问题具有「贪心选择」的性质；

而一个问题是否有「贪心选择」性质，也是需要严格证明的，但是在算法面试，甚至是平常我们做问题的过程中，都不会要求大家去证明「贪心算法」的正确性。

为此，我们只需要：

  • 凭直觉，感觉可以「贪心」去做，局部最优，全局最优；

说明：一般贪心问题都需要事先「排序」，所以选最优的过程，不需要经过比较。这一点属于定义的问题，怎么才能叫做「贪心」，其实不是我们研究问题的核心。

  • 尝试举出反例，如果举不出反例，大概贪心选择性质就是成立的。

做「贪心算法」的一般步骤，通常还是先考虑暴力怎么做，然后考虑是否可以贪心地去做。

我们先来看第 1 个问题。

例题 1：122. 买卖股票的最佳时机 II

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
     随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。

示例 2：

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

分析：由于不限制买卖的次数，这个问题的最先容易想到的思路是枚举所有可能的买入和卖出的情况，然后在它们当中进行比较，得出最大值，就是最大利润。

但是其实只要仔细一想，只要保证在低价时买入，在高价时卖出，就能得到最大收益。

这道题使用贪心算法的流程是这样的：

  • 从第 i 天（这里 i >= 1）开始，与第 i - 1 的股价进行比较，如果股价有上升（严格上升），就将升高的股价（ prices[i] - prices[i- 1] ）记入总利润，按照这种算法，得到的结果就是符合题意的最大利润。

下面对这个算法进行几点说明：

该算法仅可以用于计算，但计算的过程并不是真正交易的过程，只是可以用贪心算法计算题目要求的最大利润。

下面说明这个等价性：以 [1, 2, 3, 4] 为例，这 4 天的股价依次上升，按照贪心算法，得到的最大利润是：

res =  (prices[3] - prices[2]) + (prices[2] - prices[1]) + (prices[1] - prices[0])
    =  prices[3] - prices[0]

仔细观察上面的式子，按照贪心算法，在下标为 1、2、3 的这三天，我们做的操作应该是买进昨天的，卖出今天的，虽然这种操作「看起来是没有必要的」，但是它等价于：“在下标为 0 的那一天买入，在下标为 3 的那一天卖出”。

这个算法之所以可以称为「贪心算法」，是因为在每一步总是做出在当前看来最好的选择。

我们可以通过这道题总结一下：

  • “贪心算法” 和 “动态规划”、“回溯搜索” 算法一样，完成一件事情，是分步决策的；
  • “贪心算法” 在每一步总是做出在当前看来最好的选择，我是这样理解 “最好” 这两个字的意思：

  1. “最好” 的意思往往根据题目而来，可能是 “最小”，也可能是 “最大”；

  2. 贪心算法和动态规划相比，它既不看前面（也就是说它不需要从前面的状态转移过来），也不看后面（无后效性，后面的选择不会对前面的选择有影响），因此贪心算法时间复杂度一般是线性的，空间复杂度是常数级别的。

  3. 这道题 “贪心” 的地方在于，对于 “今天的股价 - 昨天的股价”，得到的结果有 3 种可能：（1）正数（2）0（3）负数。

贪心算法的决策是：只加正数。

参考代码 2：

public class Solution {

    public int maxProfit(int[] prices) {
        int res = 0;
        int len = prices.length;
        for (int i = 0; i < len - 1; i++) {
            int diff = prices[i + 1] - prices[i];
            if (diff > 0) {
                res += diff;
            }
        }
        return res;
    }
}

复杂度分析：

  • 时间复杂度： O ( N ) O(N) O(N)，这里 N N N 表示股价数组的长度；
  • 空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)。