题目链接:https://www.luogu.org/problem/P1939
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题目描述
a[1]=a[2]=a[3]=1;
a[x]=a[x-3]+a[x-1](x>3).
求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值。
输入格式
第一行一个整数T，表示询问个数。
以下T行，每行一个正整数n。
输出格式
每行输出一个非负整数表示答案。
输入样例
3
6
8
10
输出样例
4
9
19
说明
对于30%的数据 n<=100;
对于60%的数据 n<=2*10^7;
对于100%的数据 T<=100，n<=2*10^9.
解题思路
矩阵快速幂的模板。这道题目的关键之处在于构造初始矩阵，题目都告诉我们了要用矩阵加速，所以矩阵快速幂是核心所在。
我们首先要确定目标矩阵。下面这个矩阵就是我想要的矩阵.[ A[i], A[i−1], A[i−2] ]
那么这个矩阵要怎样算出来。显然可以由上一项求得:
A[i-1] A[i]
A[i-2] ---> A[i-1]
A[i-3] A[i-2]
根据题目给出的递推式可以得到下面三个式子:
A[i] = A[i-1]*1 + A[i-2]*0 + A[i-3]*1
A[i-1] = A[i-1]*1 + A[i-2]*0 + A[i-3]*0
A[i-2] = A[i-1]*0 + A[i-2]*1 + A[i-3]*0
通过每一项的系数可以得出初始矩阵为
1 1 0
0 0 1
1 0 0
然后我们就可以通过矩阵快速幂进行求解。
值得注意的是，应该从第4项开始计算，即这个矩阵的N次方算出来的第一个元素是A[N+3],这样的话我们可以直接算N-3次就行了。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
struct Mat {
ll m[5][5];
}ans, a;
Mat Mul(Mat a, Mat b, int n) {
Mat c;
memset(c.m, 0, sizeof(c.m));
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= 3; j++)
for (int k = 1; k <= 3; k++)
c.m[i][j] = (c.m[i][j] + (a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod) % mod;
return c;
}
int main() {
int t, n;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%d", &n);
if (n <= 3) {
printf("1\n");
continue;
}
n -= 3;
memset(ans.m, 0, sizeof(ans.m));
memset(a.m, 0, sizeof(a.m));
ans.m[1][1] = ans.m[1][2] = ans.m[1][3] = 1;
a.m[1][1] = a.m[1][2] = a.m[2][3] = a.m[3][1] = 1;
while (n) {
if (n & 1)
ans = Mul(ans, a, 1);
a = Mul(a, a, 3);
n >>= 1;
}
printf("%lld\n", ans.m[1][1]);
}
return 0;
}
