二、RRT算法简介
1 RRT定义
RRT（Rapidly-Exploring Random Tree）算法是一种基于采样的路径规划算法，常用于移动机器人路径规划，适合解决高维空间和复杂约束下的路径规划问题。基本思想是以产生随机点的方式通过一个步长向目标点搜索前进，有效躲避障碍物，避免路径陷入局部极小值，收敛速度快。本文通过matlab实现RRT算法，解决二维平面的路径规划问题。
2 地图
为了方便算法的实现，使用离散量来表达环境地图。其中，数值0表示无障碍物的空区域，数值1表示该区域有障碍物。
RRT算法中搜索到的顶点坐标为连续点，在地图中产生随机点，算法将通过连续的点构建树。此过程中，对树枝和顶点进行检测，检测顶点所处位置是否是空区域。下载附录中.dat文件，绘制地图。
colormap=[1 1 1; 0 0 0; 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];
imshow(uint8(map),colormap)
note:数据中的列为x轴，行为y轴
3 RRT算法原理
通过matlab程序构建从起始位置到目标位置的树，并生成连接两个点的路径。使用一颗中心点在起始点的树，而不是两颗树（一个中心点在起始位置，一个中心点在目标位置）。
编写一个matlab函数，输入和输出有相同的形式。
function [vertices, edges, path] = rrt(map, q_start, q_goal, k, delta_q, p)
其中：
map：.mat文件中的地图矩阵
q_start：起点的x和y坐标
q_goal：目标点的x和y坐标
k: 在目标点无法找到是，控制产生搜索树的最大迭代次数为k次
delta_q : q_new 和 q_near之间的距离
p: 将q_goal 作为q_rand 的概率，当随机产生的随机数小于p，将目标点作为随机点q_rand，当随机产生的数大于p时，产生一个随机点作为q_rand
vertices：顶点的x和y坐标，生成随机树的过程中产生的所有的点的坐标都存储在这个矩阵中，第一个点为起点，最后一个点为目标点。是一个2行n列的矩阵
deges：生成随机树的所有树枝，一共有n-1个树枝，因此该矩阵有n-1行，每一行的两列分别表示两个点的索引号。一旦搜索到目标点，最后一行将表示目标点，沿着目标点回溯，即可找到路径
path: 从起始点到目标点的索引，是一个行向量
下面用一个图来表示上面提到的算法里的一些变量：
4 障碍物检测
检测树枝（即q_near和q_new之间的edge）是否处于自由空间，可以使用增量法或者等分法，示意图如下(假设两点之间有10个点，左图为为增量检测法，右图为等分法，从示意图中可以看出使用等分法检测次数更少)：
在本文中，使用k=10000，delta_q=50,p=0.3, 我们将获得如下结果：
5 路径平滑处理
完成基本的RRT算法之后，我们获得了一条从起点到终点的路径，现在对这条路径进行平滑和降噪处理，处理完成之后，我们将得到一条更短的路径。
采用贪心算法：
连接q_start和q_goal,如果检测到两个点之间有障碍物，则将q_goal替换为前一个点，直到两个点能连接上（中间无障碍物）为止。一旦q_goal被连接上，
在matlab中定义平滑函数：
function [path_smooth] = smooth(map, path, vertices, delta)
其中：
path: 从起始点到目标位置的路径索引号
vertices：树中所有的顶点坐标
delta：增量距离，用来检测路径顶点之间的直接连接是否在自由空间之内，每个edge都被delta分割成几段
path_smooth：经过平滑处理之后，路径点将会减少，用path_smooth记录平滑之后的路径,仍然是一个行向量，记录路径的索引号
平滑处理之后的路径为：
6 总结
RRT算法是一种增量式的搜索算法，基于概率的思想，它是一种概率完备的路径优化算法，具有求解速度上的优势。RRT基本算法有其自身缺陷，求解得到的路径通常质量不好，带有棱角，不够光滑。因此需要对路径进行平滑处理，才能得到适合机器人路径跟踪的路径曲线。
三、部分源代码
function result = PlanPathRRTstar(param, p_start, p_goal)
% RRT*
% credit : Anytime Motion Planning using the RRT*, S. Karaman, et. al.
% calculates the path using RRT* algorithm
% param : parameters for the problem
% 1) threshold : stopping criteria (distance between goal and current
% node)
% 2) maxNodes : maximum nodes for rrt tree
% 3) neighborhood : distance limit used in finding neighbors
% 4) obstacle : must be rectangle-shaped #limitation
% 5) step_size : the maximum distance that a robot can move at a time
% (must be equal to neighborhood size) #limitation
% 6) random_seed : to control the random number generation
% p_start : [x;y] coordinates
% p_goal : [x;y] coordinates
% variable naming : when it comes to describe node, if the name is with
% 'node', it means the coordinates of that node or it is just an index of
% rrt tree
% rrt struct : 1) p : coordinate, 2) iPrev : parent index, 3) cost :
% distance
% obstacle can only be detected at the end points but not along the line
% between the points
% for cost, Euclidean distance is considered.
% output : cost, rrt, time_taken
% whether goal is reached or not, depends on the minimum distance between
% any node and goal
field1 = 'p';
field2 = 'iPrev';
field3 = 'cost';
field4 = 'goalReached';
rng(param.random_seed);
tic;
start();
function start()
rrt(1) = struct(field1, p_start, field2, 0, field3, 0, field4, 0);
N = param.maxNodes; % iterations
j = 1;
% while endcondition>param.threshold %&& j<=N
while j<=N
sample_node = getSample();
% plot(sample_node(1), sample_node(2), '.g');
% text(sample_node(1), sample_node(2), strcat('random',num2str(j)))
nearest_node_ind = findNearest(rrt, sample_node);
% plot(rrt(nearest_node_ind).p(1), rrt(nearest_node_ind).p(2), '.g');
% text(rrt(nearest_node_ind).p(1), rrt(nearest_node_ind).p(2), strcat('nearest', num2str(j)));
new_node = steering(rrt(nearest_node_ind).p, sample_node);
if (isObstacleFree(new_node)==1)
% plot(new_node(1), new_node(2), '.g');
% text(new_node(1), new_node(2)+3, strcat('steered: new node', num2str(j)))
neighbors_ind = getNeighbors(rrt, new_node);
if(~isempty(neighbors_ind))
parent_node_ind = chooseParent(rrt, neighbors_ind, nearest_node_ind,new_node);
% plot(rrt(parent_node_ind).p(1), rrt(parent_node_ind).p(2), '.g');
% text(rrt(parent_node_ind).p(1), rrt(parent_node_ind).p(2)+3, strcat('parent', num2str(j)));
else
parent_node_ind = nearest_node_ind;
end
rrt = insertNode(rrt, parent_node_ind, new_node);
if (~isempty(neighbors_ind))
rrt = reWire(rrt, neighbors_ind, parent_node_ind, length(rrt));
end
if norm(new_node-p_goal) == param.threshold
rrt = setReachGoal(rrt);
end
end
j = j + 1;
end
setPath(rrt);
% text1 = strcat('Total number of generated nodes:', num2str(j-1))
% text1 = strcat('Total number of nodes in tree:', length(rrt))
end
function rrt=setReachGoal(rrt)
rrt(end).goalReached = 1;
end
function setPath(rrt)
for i = 1: length(rrt)-1
p1 = rrt(i).p;
rob.x = p1(1); rob.y=p1(2);
plot(rob.x,rob.y,'.b')
child_ind = find([rrt.iPrev]==i);
for j = 1: length(child_ind)
p2 = rrt(child_ind(j)).p;
plot([p1(1),p2(1)], [p1(2),p2(2)], 'b', 'LineWidth', 1);
end
end
[cost,i] = getFinalResult(rrt);
result.cost = cost;
result.rrt = [rrt.p];
while i ~= 0
p11 = rrt(i).p;
plot(p11(1),p11(2),'b', 'Marker','.', 'MarkerSize', 30);
i = rrt(i).iPrev;
if i ~= 0
p22 = rrt(i).p;
plot(p22(1),p22(2),'b', 'Marker', '.', 'MarkerSize', 30);
% plot([p11(1),p22(1)],[p11(2),p22(2)], 'b', 'LineWidth', 3);
end
end
result.time_taken = toc;
end
function [value,min_node_ind] = getFinalResult(rrt)
goal_ind = find([rrt.goalReached]==1);
if ~(isempty(goal_ind))
disp('Goal has been reached!');
rrt_goal = rrt(goal_ind);
value = min([rrt_goal.cost]);
min_node_ind = find([rrt.cost]==value);
if length(min_node_ind)>1
min_node_ind = min_node_ind(1);
end
else
disp('Goal has not been reached!');
for i =1:length(rrt)
norm_rrt(i) = norm(p_goal-rrt(i).p);
end
[value,min_node_ind]= min(norm_rrt);
value = rrt(min_node_ind).cost;
end
end
% if it is obstacle-free, return 1.
% otherwise, return 0
function free=isObstacleFree(node_free)
free = 1;
for i = 1: length(param.obstacles(:,1))
obstacle = param.obstacles(i,:);
op1 = [obstacle(1), obstacle(2)];
op2 = [op1(1)+obstacle(3), op1(2)];
op3 = [op2(1), op1(2) + obstacle(4)];
op4 = [op1(1), op3(2)];
nx = node_free(1);
ny = node_free(2);
if ((nx>=op1(1) && nx<=op2(1)) && (ny>=op1(2) && ny<=op4(2)))
free = 0;
end
end
end
function new_node=steering(nearest_node, random_node)
dist = norm(random_node-nearest_node);
ratio_distance = param.step_size/dist;
x = (1-ratio_distance).* nearest_node(1)+ratio_distance .* random_node(1);
y = (1-ratio_distance).* nearest_node(2)+ratio_distance .* random_node(2);
new_node = [x;y];
end
function rrt = reWire(rrt, neighbors, parent, new)
for i=1:length(neighbors)
cost = rrt(new).cost + norm(rrt(neighbors(i)).p - rrt(new).p);
if (cost<rrt(neighbors(i)).cost)
% if norm(rrt(new).p-rrt(neighbors(i)).p)<param.step_size
% % plot(rrt(neighbors(i)).p(1), rrt(neighbors(i)).p(2), '.b');
% rrt(neighbors(i)).p = steering(rrt(new).p, rrt(neighbors(i)).p);
% end
% plot(rrt(neighbors(i)).p(1), rrt(neighbors(i)).p(2), '.m');
rrt(neighbors(i)).iPrev = new;
rrt(neighbors(i)).cost = cost;
end
end
end
function rrt = insertNode(rrt, parent, new_node)
rrt(end+1) = struct(field1, new_node, field2, parent, field3, rrt(parent).cost + norm(rrt(parent).p-new_node), field4, 0);
end
function parent = chooseParent(rrt, neighbors, nearest, new_node)
min_cost = getCostFromRoot(rrt, nearest, new_node);
parent = nearest;
for i=1:length(neighbors)
cost = getCostFromRoot(rrt, neighbors(i), new_node);
if (cost<min_cost)
min_cost = cost;
parent = neighbors(i);
end
end
end
function cost = getCostFromRoot(rrt, parent, child_node)
cost = rrt(parent).cost + norm(child_node - rrt(parent).p);
end
function neighbors = getNeighbors(rrt, node)
neighbors = [];
for i = 1:length(rrt)
dist = norm(rrt(i).p-node);
if (dist<=param.neighbourhood)
neighbors = [neighbors i];
end
end
end
四、运行结果
五、matlab版本及参考文献
1 matlab版本
2014a
2 参考文献
[1] 包子阳,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例（第2版）[M].电子工业出版社，2016.
[2]张岩,吴水根.MATLAB优化算法源代码[M].清华大学出版社，2017.
[3]RRT路径规划算法
