问题描述
Michael 喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael 想知道载一个区域中最长的滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子。
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为 24-17-16-1。当然25-24-23-…-3-2-1 更长。事实上，这是最长的一条。
Input
输入的第一行表示区域的行数 R 和列数 C (1 <= R,C <= 100)。下面是 R 行，每行有 C 个整数，代表高度 h，0<=h<=10000。
Output
输出最长区域的长度。
Sample Input
5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
Sample Output
25
方法一：动态规划(DP)+深度搜索(DFS)
对于输入的每个点，找到从该点出发的最长路径。然后在所有点中找最大值。
求解从某一点出发的最长路径使用递归求解。
递归终止条件：找到了已经求出的从路径最长的点。
问题分解：从某一点出发的最长路径等于周围四个可以到达的点加1的最大值，即dp[x][y] = max(dp[i][j]) + 1。dp[x][y] 表示从点 x，y 开始的最长路径，dp[i][j] 表示 x，y 的四个邻居中比 x，y 低的点的最长路径。
#include <iostream>
using namespace std;
#define maxn 102
int dp[maxn][maxn], hh[maxn][maxn]; //hh表示各店的高度，dp表示从每个点开始的最长路径长度
int row, col, mov[][2] = { -1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, -1 };//输入数据有row行，col列，mm表示从一个点向上下左右移动
bool check(int i, int j)
{
return i >= 0 && i < row && j >= 0 && j < col;
}
//计算从x,y出发的最长路径
int DFS(int x, int y)
{
if (dp[x][y]) //找到已经求出最短路径的节点为止
return dp[x][y];
int i, j, k, t, pathlen = 1;
for (k = 0; k < 4; ++k)
{
i = x; j = y;
i += mov[k][0]; j += mov[k][1];
if (check(i, j) && hh[i][j] < hh[x][y])
{
t = 1 + DFS(i, j);
if (t > pathlen) pathlen = t;
}
}
return dp[x][y] = pathlen;
}
int main()
{
int i, j, pathlen;
cin >> row >> col;
for (i = 0; i < row; ++i)
{
for (j = 0; j < col; ++j)
cin >> hh[i][j];
}
pathlen = 1;
for (i = 0; i < row; i++)
{
for (j = 0; j < col; j++)
{
dp[i][j] = DFS(i, j);
if (pathlen < dp[i][j])
pathlen = dp[i][j];
}
}
cout << pathlen << endl;
return 0;
}
方法二：“人人为我”式递推
dp(i,j) 表示从点 (i,j) 出发的最长滑行长度。一个点 (i,j) 如果周围没有比它低的点，dp(i,j) = 1。
将所有点按高度从小到大排序。每个点的 dp 值都初始化为1，从小到大遍历所有的点。经过一个点 (i,j) 时，用递推公式求 dp(i,j)，该点的 dp 值等于周围四个高度比该点低的 dp 值加 1 的最大值。
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int row, col;
int dp[102][102];
int hh[102][102];
int dir[4][2] = { { 1, 0 }, { 0, 1 }, { -1, 0 }, { 0, -1 } };
struct ski
{
int x;
int y;
int h;
bool operator<(const ski &c)const
{
return h<c.h;
}
}s[10100];
bool check(int i, int j)
{
return i >= 0 && i < row && j >= 0 && j < col;
}
int main()
{
cin >> row >> col;
int r = 0;
int pathlen = 1;
for (int i = 0; i < row; i++)
{
for (int j = 0; j < col; j++)
{
cin >> hh[i][j];
dp[i][j] = 1; //每个点的最长路径初始化为1
s[r].x = i;
s[r].y = j;
s[r].h = hh[i][j];
r++;
}
}
sort(s, s + r);
for (int i = 0; i <= r - 1; i++)
{
int x = s[i].x;
int y = s[i].y;
for (int j = 0; j<4; j++)
{
int xx = x + dir[j][0];
int yy = y + dir[j][1];
if (check(xx, yy) && hh[x][y]>hh[xx][yy])//经过一个点(x,y) 的时候 ，更新自己
{
dp[x][y] = max(dp[x][y], dp[xx][yy] + 1);
pathlen = max(pathlen, dp[x][y]);
}
}
}
cout << pathlen << endl;
return 0;
}
方法三：“我为人人”式递推
dp(i,j) 表示从点 (i,j) 出发的最长滑行长度。一个点 (i,j)，如果周围没有比它低的点，dp(i,j) = 1。
将所有点按高度从小到大排序。每个点的 L 值都初始化为1，从小到大遍历所有的点。经过一个点 (i,j) 时，要更新他周围的，比它高的点的 L 值。
例如：
if(H(i+1,j) > H(i,j)) // H代表高度
L(i+1,j) = max(L(i+1,j),L(i,j)+1)
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int row, col;
int dp[102][102];
int hh[102][102];
int dir[4][2] = { { 1, 0 }, { 0, 1 }, { -1, 0 }, { 0, -1 } };
struct ski
{
int x;
int y;
int h;
bool operator<(const ski &c)const
{
return h<c.h;
}
}s[10100];
bool check(int i, int j)
{
return i >= 0 && i < row && j >= 0 && j < col;
}
int main()
{
cin >> row >> col;
int r = 0;
int ans = 1;
for (int i = 0; i < row; i++)
{
for (int j = 0; j < col; j++)
{
cin >> hh[i][j];
dp[i][j] = 1;
s[r].x = i;
s[r].y = j;
s[r].h = hh[i][j];
r++;
}
}
sort(s, s + r);
for (int i = 0; i <r; i++)
{
int x = s[i].x;
int y = s[i].y;
for (int j = 0; j<4; j++)
{
int xx = x + dir[j][0];
int yy = y + dir[j][1];
if (check(xx, yy) && hh[x][y]<hh[xx][yy])
{
dp[xx][yy] = max(dp[xx][yy], dp[x][y] + 1);
ans = max(ans, dp[xx][yy]);
}
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
