本次笔记内容：
7.1.1 概述
7.1.2 无权图的单源最短路
7.1.3 有权图的单源最短路
7.1.3-s 有权图的单源最短路示例
7.1.4 多源最短路算法
文章目录
最短路径问题
最短路径问题的抽象
在网络中，求两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径。
- 这条路径就是两点之间的最短路径（Shortest Path）；
- 第一个顶点为源点（Source）；
- 最后一个顶点为终点（Destination）。
问题分类
- 单源最短路径问题：从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径：
-
- （有向/无向）无权图
-
- （有向/无向）有权图
- 多源最短路径问题：求任意两顶点间的最短路径
无权图的单源最短路算法
- 按照递增（非递减）的顺序找出各个顶点的最短路。实际上就是广度优先搜索算法（BFS）。
void Unweighted(Vertex S)
{
Enqueue(S, Q);
while (!IsEmpty)
{
V = Dequeue(Q);
for (V的每个邻接点W)
if (dist[W] == -1)
{
dist[W] = dist[V] + 1;
path[W] = V;
Enqueue(W, Q);
}
}
}
dist[W] = S到W的最短距离
dist[S] = 0
path[W] = S到W的路上经过的某顶点
假设上述图用邻接表存储，上述算法的时间复杂度为 T = O ( ∣ V ∣ + ∣ E ∣ ) T=O(|V|+|E|) T=O(∣V∣+∣E∣)。
有权图的单源最短路算法
负值圈（negative-cost cycle）
如上图，如果存在负值圈（negative-cost cycle），则进入无限循环。因此，我们的最短路算法都不考虑存在负值圈的情况。
算法思路依旧是按照递增（非递减）的顺序找出各个顶点的最短路。
Dijkstra算法
void Dijkstra(Vertex s)
{
while (1)
{
V = 未收录顶点中dist最小者;
if (这样的V不存在)
break;
collected[V] = true;
for (V的每个邻接点W)
if (collected[W] == false)
if (dist[W] + E[V, W] < dist[W])
{
dist[W] = dist[V] + E[V, W];
path[W] = V;
}
}
}
这个算法不能解决有负边的情况。
Dijkstra时间复杂度讨论
（1）直接扫描所有未收录顶点：O(|V|)
- T = O ( ∣ V ∣ 2 + ∣ E ∣ ) T=O(|V|^2+|E|) T=O(∣V∣2+∣E∣)
- 对于稠密图效果好（E与V^2同一数量级）
（2）将dist存在最小堆中：O(log|V|)
- 更新dist[W]的值：O(log|V|)
- T = O ( ∣ V ∣ l o g ∣ V ∣ + ∣ E ∣ l o g ∣ V ∣ ) = O ( ∣ E ∣ l o g ∣ V ∣ ) T=O(|V|log|V|+|E|log|V|)=O(|E|log|V|) T=O(∣V∣log∣V∣+∣E∣log∣V∣)=O(∣E∣log∣V∣)
- 对于稀疏图效果好（E与V同一数量级）
Dijkstra例题我已在运筹学里学过多次，所写项目也有所应用，示例不再记录了。
如图是Dijkstra的例题，现在的状态是刚刚收录V_5，准备访问V_5的邻接点。
多源最短路算法
方法1：直接将单源最短路算法调用|V|遍。
- T = O ( ∣ V ∣ 3 + ∣ E ∣ × ∣ V ∣ ) T=O(|V|^3+|E| \times |V|) T=O(∣V∣3+∣E∣×∣V∣)
- 对稀疏图效果好
方法2：Floyd算法
- T = O ( ∣ V ∣ 3 ) T=O(|V|^3) T=O(∣V∣3)
- 对于稠密图效果好
Floyd算法
如上图，D[i][j]逐步将各个点收录，求包含已收录点的最短距离。
void Floyd()
{
for (i = 0; i < N; i++)
for (j = 0; j < N; j++)
{
D[i][j] = G[i][j];
path[i][j] = -1;
}
for (k = 0; k < N; k++)
for (i = 0; i < N; i++)
for (j = 0; j < N; j++)
if (D[i][k] + D[k][j] < D[i][j])
{
D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
path[i][j] = k;
}
}
如上图，Floyd算法的时间复杂图是 T = O ( ∣ V ∣ 3 ) T=O(|V|^3) T=O(∣V∣3)。
