「管理数学基础」4.1 模糊数学：模糊现象与模糊集、隶属函数、模糊集的运算、水平截集与分解定理

模糊现象与模糊集、隶属函数、模糊集的运算、水平截集与分解定理

文章目录

• 模糊现象与模糊集、隶属函数、模糊集的运算、水平截集与分解定理
• • 模糊现象与模糊集
  • 模糊集的隶属函数
  • 模糊集的运算
  • 模糊集的水平截集与分解定理

模糊现象与模糊集

一个概念，有它的内涵与外延：

• 内涵：符合此概念的对象所具有的共同属性
• 外延：符合此概念的对象的全体

可见，一个概念的外延是一个集合，是符合此概念内涵的对象的全体组成的集合。

有些概念，其外延是清楚的，如男人、女人。而有些概念，其外延不很清楚，如青年人、老年人。

模糊集—边界不清楚的集合。反之为清晰集（普通集）。例如：雨天是清晰集（普通集），而晴天是模糊集；青年人、老年人也是模糊集。事实上，“青年”变为“老年”是一个连续的过程。因此，处于中间过渡阶段年龄的人，自然就具有“亦此亦彼”的属性。我们把这种属性称为：

• 模糊性：客观事物的差异性在中介过渡时所呈现的“亦此亦彼”性。
• 模糊数学：研究和处理模糊性现象的数学分支。

模糊集的隶属函数

隶属函数的概念

如上，在讨论模糊集具体概念前，应首先了解隶属的概念：

• 对于正常集合，隶属度不是1就是0
• 对于模糊集，隶属的是一个元素属于$[0,1]$的数字

模糊集的表示

如上，这里记录模糊集的当时是使用+与分数线，但并不是指加法的意义，只是一种较为明确的记录方式（相当于在这里做了运算符重载）。

在上图的例子中：

• 产品有 4 个值（不是4个维度，而是4个产品/元素）
• 其子集是一个模糊集（是不是优质品），因此可以有 A ∼ A_\sim A∼​如上的表示方法，其中，隶属度为0的元素可以省略不写

隶属函数的确定

• 德尔菲法（专家打分）
• 模糊统计法（调查）

如上是界定一个连续变量$x$在两个模糊集的隶属度函数。

模糊集的运算

运算定义

我们可以看出，模糊集具体的表现，是由其隶属函数决定的。因此，模糊集的运算主要也是看其隶属函数的运算。

例题：模糊集运算

分析：知道两个函数大概形状，求交点，按照定义就好。

运算律

分析：

• 对于证明，我们也一定是根据运算定义，拆解称隶属函数之间的关系
• 对于分配律，我们可以假定 μ B ≥ μ C \mu_B \ge \mu_C μB​≥μC​（因为$B$与$C$是对称的），这样只需要讨论三种情况： μ A ≥ μ B ≥ μ C \mu_A \ge \mu_B \ge \mu_C μA​≥μB​≥μC​、 μ B ≥ μ A ≥ μ C \mu_B \ge \mu_A \ge \mu_C μB​≥μA​≥μC​、 μ B ≥ μ C ≥ μ A \mu_B \ge \mu_C \ge \mu_A μB​≥μC​≥μA​

例题：模糊集运算律应用

模糊集的水平截集与分解定理

水平截集

分析：

• 注意截集 A λ A_\lambda Aλ​是一个普通集合（不是模糊集）
• 注意截集是向上截，隶属度$\mu (x)$大于$\lambda$取这个$x$

例题：水平截集

分析：

• 都是单调函数，因此求交点就可以确定截集了
• 截集的意义为：隶属的程度不低于$\lambda$

分解定理

分析：

• 第一次看有些费解，但是我们可以抛开公式，仅从分解二字来理解
• 其意义为：模糊集可以分解为：若干截集乘上相应的$\lambda$；因为截集就是把元素大于$\lambda$的元素都拿走
  • 并且隶属度本该是$\mu \ge \lambda$的，在截集中都是$1$了
  • 那么，将截集拼回去（拼成原本的模糊集）则是用$\lambda$乘回$1$得到本来的隶属度函数

这个证明过程是：

• $\lambda$在$\lambda >\mu (x)$时，取并集
• 就是帮助$\lambda$乘回其对应的截集的部分，取到该$x$其原本对应的隶属度