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扩张原理
如上，对于非模糊集：
- 我们可以通过一个映射 f f f将 x x x映射到 y y y上去
- 如果 x 1 x_1 x1与 x 2 x_2 x2都映射到 y y y，但是 x 1 x_1 x1不属于 X X X、 x 2 x_2 x2属于 X X X、 y y y属于 Y Y Y
- 则依旧，有事实： μ f ( X ) ( y ) = 1 \mu_{f(X)} (y)=1 μf(X)(y)=1， μ A ( x 1 ) = 0 \mu_A (x_1)= 0 μA(x1)=0， μ A ( x 2 ) = 1 \mu_A (x_2)= 1 μA(x2)=1
- 因此可以得到普通集合上的
映射的隶属度函数关系： μ f ( A ) ( y ) = ∨ f ( x ) = y μ A ( x ) \mu_{f(A)}(y)=\vee_{f(x)=y}\mu_A (x) μf(A)(y)=∨f(x)=yμA(x)
所以我们推导出模糊集上的扩张原理。
例题：扩张原理
如上，这是一个运算（映射）后，取原x隶属度上界的过程。
多元扩张原理
模糊数
凸模糊集
我的理解：取任一区间上的点，隶属度总是至少大于等于一个区间端点的隶属度。（没有向下凹陷的部分）
性质1：凸模糊集任意截集是一个区间
注意一个区间。
分析：
- 这个性质直观来想很好理解：没有向下凹陷，则取截集，肯定是一个，不是多个（不会被向下凹陷分隔开）
性质2：凸模糊集并集是凸模糊集
如上，直接代入定义，验证公式即可。
模糊数定义与几何表示
注意：
- 正则模糊集要求：最大隶属度要为1
- 截集是闭区间
模糊数是一个模糊集- 目前可以理解为模糊数与凸模糊集相同
区间数
上面的区间数运算律要注意：
- 减法要反转被减数
- 乘法取四个乘积的最小与最大
- 除法变成乘法时，依旧要反转除数（为了保证是一个区间，左边小于等于右边）
证明：区间数运算服从次分配律
次分配律：即左边
A
(
B
+
C
)
A(B+C)
A(B+C)属于右边
A
B
+
A
C
AB + AC
AB+AC的分配率。你可以如上图把左右都乘开，然后假设、讨论区间大小（包含关系）；也可以从微观证明（与同学讨论，同学教我的办法）。
例题：区间数的运算
直接代入运算律就可以。用于检验是否有根，是一个神奇的应用，如果有深入的必要，可以在日后学习中探究区间数运算的原理。
模糊数的运算
如上，元素也要两两进行运算：
- 元素合并时取交集
- 合并后整理公式，取并集
- 看例题就了然了
例题：模糊数的运算
可能性分布与模糊概率
随机性与可能性
这里，将可能性与随机性结合了起来。
可能性分布
如上，可能性分布就是隶属度。
模糊事件的概率
这里多少令人有些费解：
- 本身是存在射击命中率的（每次射击是独立的）
- 而对于“设了几次就射中目标”这件事，我们需要用模糊集 A ∼ A_\sim A∼描述这个“不几次”
- 射了1次，当然属于“不几次”；设了2次，属于“不几次”的程度为0.9…设了5次及以上，当然不算是“不几次”，隶属度均为0。
