选择一个好的激活函数可以对提高网络性能产生重要的影响。Handcrafted Activation是神经网络模型中最常见的选择。尽管ReLU有一些严重的缺点，但由于其简单性，ReLU成为深度学习中最常见的选择。
本文在已知激活函数Leaky ReLU近似的基础上，提出了一种新的激活函数，称之为Smooth Maximum Unit(SMU)。用SMU替换ReLU，ShuffleNet V2模型在CIFAR100数据集上得到了6.22%的提升。
1介绍
神经网络是深度学习的支柱。激活函数是神经网络的大脑，在深度神经网络的有效性和训练中起着核心作用。ReLU由于其简单性而成为深度学习领域的常用选择。尽管它很简单，但ReLU有一个主要的缺点，即ReLU死亡问题，在这种情况下，多达50%的神经元在网络训练期间死亡。
为了克服ReLU的不足，近年来提出了大量的激活方法，其中Leaky ReLU、Parametric ReLU 、ELU、Softplus、随机化Leaky ReLU是其中的几种，它们在一定程度上改善了ReLU的性能。
Swish是谷歌脑组提出的非线性激活函数，对ReLU有一定的改善；GELU是另一种常用的平滑激活函数。可以看出，Swish和GELU都是ReLU的光滑近似。近年来，人们提出了一些提高ReLU、Swish或GELU性能的非线性激活方法，其中一些是ReLU或Leaky ReLU的光滑逼近方法，还有TanhSoft、EIS、Padé激活单元、正交Padé激活单元、Mish、ErfAct等。
maximum function在原点处是非光滑的。在本文中，作者将探讨maximum function的平滑逼近如何影响网络的训练和性能。
2Smooth Maximum Unit
作者提出了Smooth Maximum Unit (SMU)。从|x|函数的光滑逼近中可以找到一个maximum function的一般逼近公式，它可以平滑逼近一般的maxout族、ReLU、Leaky ReLU或其变体、Swish等。作者还证明了GELU函数是SMU的一个特例。
2.1 平滑近似Maximum Function
Maximum Function定义如下：
式1
函数|x|在原点是不可微的。因此，从上式可以看出最大值函数在原点处也是不可微的。这里可以用Smooth函数来近似|x|函数。对于本文的其余部分,我们将只考虑两个近似| x, 在深度学习问题中使用这两个函数和近似的结果比其他近似|x|可以得到更好的结果。
注意，从上面平滑地近似|x|，而从下面平滑地近似|x|。这里 是一个平滑参数，当取 无穷大 时，近似函数平滑地逼近|x|。这里erf是高斯误差函数，定义如下:
现将式(1)中的|x|函数替换为，则最大函数的光滑逼近公式如下:
式2
同理，可以推导出的光滑近似公式:
式3
注意，当无穷大,；当, 。对于和的特定值，可以近似已知的激活函数。例如，, ，得到：
式4
这是maxout族中的一个简单情况，而通过考虑和的非线性选择可以发现更复杂的情况。对于和的特定值，可以得到ReLU和Leaky ReLU的平滑近似。例如，考虑和，有ReLU的平滑近似：
式5
GELU是ReLU的光滑近似。注意，如果方程(5)中取，则可以逼近GELU激活函数，这也表明GELU是ReLU的光滑近似。此外，考虑和α，可以得到Leaky ReLU或Parametric ReLU的光滑逼近，这取决于α是超参数还是可学习参数。
式6
请注意，式(5)和式(6)下端近似为ReLU或Leaky ReLU。同样地，可以从式(3)推导出近似函数，它将近似上面的ReLU或Leaky ReLU。
式(6)对输入变量x的相应导数为:
式7
其中，
称方程(6)中的函数为Smooth Maximum Unit(SMU)。可以将方程(3)中的和α替换为一个函数，称之为SMU-1。对于所有的实验，将使用SMU和SMU-1作为激活函数。
2.2 通过反向传播学习激活参数
使用backpropagation技术更新可训练激活函数参数。作者在Pytorch和Tensorflow-KerasAPI中实现了向前传递，自动区分将更新参数。另外，可以使用CUDA的实现，α和µ参数的梯度可以计算如下:
式8+9
α和µ既可以是超参数，也可以是可训练参数。对于SMU和SMU-1，α = 0.25，这是一个超参数。也将µ作为可训练参数，对SMU和SMU-1分别在1000000和4.352665993287951e−09初始化。
这里，具有SMU和SMU-1激活函数的神经网络密集在C(K)中，其中K是的子集，C(K)是K上所有连续函数的空间。
Proposition
设ρ是任意连续函数。设ρ表示一类具有激活函数ρ的神经网络，在输入层有n个神经元，在输出层有1个神经元，在隐层有任意数目的神经元。设为compact，那么当且仅当ρ是非多项式时C(K)的是dense。
3实验
3.1 分类
3.2 目标检测
3.3 语义分割
4参考
[1].SMU: SMOOTH ACTIVATION FUNCTION FOR DEEP NETWORKS USING SMOOTHING MAXIMUM TECHNIQUE
