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（七）方程求解
from sympy import *
x, y, z = symbols('x y z')
1 等式
从前面的文章我们知道，SymPy中的符号方程不是用=或==表示的，而是用Eq表示的。
然而，还有一个更简单的方法：我们知道a=b相当于a−b=0。在SymPy中，任何不在Eq中的表达式都被SynPy的求解函数（如solveset()）假定等于0。这意味着我们可以不使用x==y，而使用x-y（被求解函数认为是x-y==0）。
如果要求解的方程已经等于0，则这一点特别有用。我们在编程时不用键入Eq：solveset(Eq(expr,0),x)，只需使用solveset(expr,x)即可求解方程。
例如：
2 求解代数方程
求解代数方程的主要函数是solveset。其语法为：solveset(equation, variable=None, domain=S.Complexes)
式中，等式可以是Eq实例或表达式的形式（假定为零）。
还有一个函数叫做solve，也可以用来解方程。它的语法为solve(equations, variables)，后面会介绍它的用途。
当求解一个等式时，solveset的输出有：有限集，域，映射集
如果无解，则返回一个空集，如果无法找到解决方案，则返回一个条件集合。
在solveset模块中，使用linsolve求解线性方程组。下面是linsolve的语法示例：
- （1） 方程式形式:
- 增广矩阵形式：
-
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b形式
注：解的顺序对应于给定符号的顺序。
在solveset模块中，使用nonlinsolve求解非线性方程组。
下面是nonlinsolve的示例。
- 当只有实数解存在时：
- 当只有复数解存在时：
- 实数解和复数解同时存在时
- 无穷多个解时：
注：
（1）解的顺序对应于给定符号的顺序。
（2）nonlinsolve不会返回LambertW形式的解（如果存在LambertW形式解的话）。solve则可用于这种情况：
（3）nonlinsolve不能很好地求解具有三角函数的方程组。solve也可用于此类情况（但不能给出所有解决方案）
solveset只给出每个解。要得到包含多重性的多项式的解，使用roots。
roots的输出{0: 1, 3: 2}意思是：0是重数为1的根，3是重数为2的根。
solveset 无法求解由LambertW（超越方程求解器）求解的方程。
而solve可以：
3 求解微分方程
要求解微分方程，可使用dsolve。首先，通过将cls=function传递给symbols函数来创建未定义的函数。
f, g = symbols('f g', cls=Function)
f和g现在是未定义的函数。我们可以调用f(x)，它表示一个未知函数。
f(x)的未估值导数：
要求解常微分方程，请将其和要求解的函数传递给dsolve。
如求解微分方程
f
′
′
(
x
)
−
2
f
′
(
x
)
+
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x)=\sin (x)
f′′(x)−2f′(x)+f(x)=sin(x)：
dsolve返回Eq的一个实例。这是因为一般情况下，微分方程的解不能为函数显式求解。
dsolve解中的任意常数是C1、C2、C3等形式的符号。
（八）矩阵
from sympy import *
要在SymPy中生成矩阵，使用Matrix对象。通过提供构成矩阵的行向量的列表来构造矩阵。
例如，构造矩阵：
[
1
−
1
3
4
0
2
]
\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\3 & 4 \\0 & 2\end{array}\right]
⎣⎡130−142⎦⎤
为了便于生成列向量，单独一个元素列表被认为是列向量
矩阵的操作与SymPy或Python中的任何其他对象一样。
关于SymPy矩阵需要注意的一点是，与SymPy中的其他对象不同，它们是可变的。这意味着可以对它们进行适当的修改。如果需要Matrix的不可变，请使用ImmutableMatrix。
1 基本操作
1.1 获取矩阵形状
要得到矩阵的形状，请使用shape：
1.2 访问行和列
若要获取矩阵的单个行或列，请使用row或col。例如，M.row(0)将获取第一行。M.col(-1)将获取最后一列。
1.3 删除和插入行和列
要删除行或列，请使用row_del或r col_del。这些操作将修改矩阵。
要插入行或列，请使用 row_insert或col_insert。
2 基本方法
简单的加法和乘法操作仅通过使用+、*和**来完成。要求矩阵的逆，则计算-1次方。
求Matrix的转置，用T：
3 矩阵构造函数
要创建单位矩阵，请使用eye。eye(n)将创建一个n×n单位矩阵。
zeros(n, m)创造一个 n × m 的零矩阵
相似地，ones创建全1矩阵
要创建对角矩阵，请使用diag。diag的参数可以是数字或矩阵。其中数字被解释为1×1矩阵。输入的矩阵按对角线排列。其余元素用0填充。
4 先进的方法
4.1 行列式
要计算矩阵的行列式，请使用det。
4.2 简化的阶梯形式
若要将矩阵转换为简化的阶梯形式，请使用rref
rref返回两个元素的元组。第一个元素是简化的行梯队形式，第二个元素是主元的列索引。
注：rref返回的元组的第一个元素是Matrix类型。第二种是tuple类型。
4.3 零空间（Nullspace）
要找到矩阵的零空间，请使用nullspace，得到输出张成矩阵零空间的列向量。
使用ASCII Pretty Printer格式输出：
4.4 列空间（Columnspace）
要找到矩阵的零空间，请使用columnspace，得到输出张成矩阵列空间的列向量。
4.5 特征值、特征向量和对角化（Eigenvalues, Eigenvectors, and Diagonalization）
要求矩阵的特征值，请使用eigenvals。eigenvals返回一个字典：{特征值：代数重数}
表示M特征值有-2、3和5，特征值-2和3的代数重数为1，特征值5的代数重数2。
要找到矩阵的特征向量，请使用eigenvects。返回(特征值：代数重数，[特征向量])。
从结果我们也可以知道特征值5的几何重数为2，因为它有两个特征向量。因为所有特征值的代数重数和几何重数是相同的，所以M是可对角化的。
使用diagonalize实现对角化，返回一个元组
(
P
,
D
)
(P,D)
(P,D)，D为对角矩阵且
M
=
P
D
P
−
1
M=P D P^{-1}
M=PDP−1
Tip：要创建一个名为λ的符号，可以对SymPy符号和Python变量使用相同的名称——lamda（不带b）。它可以被打印为λ。
如果只需要特征多项式，请使用charpoly。这比eigenvals更有效，因为有时符号根的计算成本很高。
未完待续：
【SymPy】（九）高级表达式操作
