【信号与系统】（四）信号与系统概述——系统的概念及分类

文章目录

• 第一章 信号与系统概述
• • 1.4 系统的概念及分类
  • • 1.4.1 系统定义与典型系统举例
    • 1.4.2 系统分类
    • • 1.4.2.1 连续系统与离散系统
      • 1.4.2.2 动态系统与即时系统
      • 1.4.2.3 单输入单输出系统与多输入多输出系统
      • 1.4.2.4 线性系统与非线性系统
      • 1.4.2.5 时变系统与时不变系统
      • 1.4.2.6 因果与非因果系统
      • 1.4.2.7 稳定系统与不稳定系统

第一章 信号与系统概述

1.4 系统的概念及分类

1.4.1 系统定义与典型系统举例

1.4.1.1 系统定义

系统(system)：是指若干相互关联的事物组合而成,具有特定功能的整体。 表示如下：

系统的基本作用：对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。

1.4.1.2 系统模型

系统模型：对实际系统的理想化。

1.4.1.3 系统的状态

定义: 系统在任意时刻 t 0 t_0 t0​的状态，是指取该时刻最少数目的一组数，这组数连同 t 0 t_0 t0​以后的输入足以确定 t > t 0 t>t_0 t>t0​时刻的输出。 （系统具有记忆能力。系统具有历史结果）

1.4.1.4 典型系统举例

手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统，它们所传送的电波、语音、音乐、图像、文字等都可以看成信号。

1.4.2 系统分类

1.4.2.1 连续系统与离散系统

若系统的输入信号，输出信号都是连续信号，则称该系统为连续时间系统。

若系统的输入信号，输出信号都是离散信号，则称该系统为离散时间系统。

1.4.2.2 动态系统与即时系统

若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。含有记忆元件（电容、电感等）的系统都是动态系统；否则称为即时系统或无记忆系统（如电阻电路）。

1.4.2.3 单输入单输出系统与多输入多输出系统

顾名思义。

1.4.2.4 线性系统与非线性系统

1.4.2.4.1 线性性质

线性系统是指满足线性性质的系统。

齐次性：
a f 1 ⟶ a y 1 a f_{1} \quad \longrightarrow \quad a y_{1} af1​⟶ay1​

可加性：
f 2 ⟶ y 2 f 1 + f 2 ⟶ y 1 + y 2 \begin{array}{clc}f_{2} & \longrightarrow & y_{2} \\f_{1}+f_{2} & \longrightarrow & y_{1}+y_{2}\end{array} f2​f1​+f2​​⟶⟶​y2​y1​+y2​​
线性性：
a f 1 + b f 2 ⟶ a y 1 + b y 2 a f_{1}+b f_{2} \quad \longrightarrow \quad a y_{1}+b y_{2} af1​+bf2​⟶ay1​+by2​

T [ a f 1 ( ⋅ ) + b f 2 ( ⋅ ) ] = a T [ f 1 ( ⋅ ) ] + b T [ f 2 ( ⋅ ) ] T[a f_1(·) + bf_2(·)] = aT[ f_1(·)] + bT[ f_2(·)] T[af1​(⋅)+bf2​(⋅)]=aT[f1​(⋅)]+bT[f2​(⋅)]

1.4.2.4.2 动态线性系统的判定条件

动态系统的响应不仅与激励$\{f(\cdot )\}$有关，而且与它过去的状态$\{x(0)\}$有关。即系统的完全相应可分解为两部分——仅仅由输入产生的（零状态）响应和仅仅由状态产生的（零输入）响应，即具有可分解性。

• 完全响应：
  $$y(\cdot )=T[\{f(\cdot )\},\{x(0)\}],f为输入，x为状态$$

• 零状态响应：

y z s ( ⋅ ) = T [ { f ( ⋅ ) } , { 0 } ] y_{zs}(·) = T [\{ f(·) \}, \{0\}] yzs​(⋅)=T[{f(⋅)},{0}]

• 零输入响应：

y z i ( ⋅ ) = T [ { 0 } ， { x ( 0 ) } ] y_{zi}(·) = T [ \{0\}，\{x(0)\}] yzi​(⋅)=T[{0}，{x(0)}]

当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：

• 可分解性(一个响应可分解为零输入与零状态)：
  y ( ⋅ ) = y z s ( ⋅ ) + y z i ( ⋅ ) y (·) = y_{zs}(·) + y_{zi}(·) y(⋅)=yzs​(⋅)+yzi​(⋅)
• 零状态线性(状态为0，输入的线性组合等于其响应的线性组合)：
  T [ { a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) } , { 0 } ] = a T [ { f 1 ( ⋅ ) } , { 0 } ] + b T [ { f 2 ( ⋅ ) } , { 0 } ] T[\{af_1(t) +bf_2(t)\}, \{0\}]=aT[\{f_1(·)\},\{0\}]+bT[\{f_2(·)\},\{0\}] T[{af1​(t)+bf2​(t)},{0}]=aT[{f1​(⋅)},{0}]+bT[{f2​(⋅)},{0}]
• 零输入线性(输入为0，状态的线性组合等于其响应的线性组合)：
  T [ { 0 } , { a x 1 ( 0 ) + b x 2 ( 0 ) } ] = a T [ { 0 } , { x 1 ( 0 ) } ] + b T [ { 0 } , { x 2 ( 0 ) } ] T[\{0\},\{ax_1(0) +bx_2(0)\}]=aT[\{0\},\{x_1(0)\}] +bT[\{0\},\{x_2(0)\}] T[{0},{ax1​(0)+bx2​(0)}]=aT[{0},{x1​(0)}]+bT[{0},{x2​(0)}]

1.4.2.5 时变系统与时不变系统

1.4.2.5.1 时不变性质

时不变系统：系统输入延迟多少时间，其零状态响应也相应延迟多少时间。系统不随时间变化

时不变性： f ( t − t d ) ⟶ y z s ( t − t d ) f\left(t-t_{d}\right) \longrightarrow y_{z s}\left(t-t_{d}\right) f(t−td​)⟶yzs​(t−td​)

T [ { 0 } ， f ( t − t d ) ] = y z s ( t − t d ) T[\{0\}，f(t - t_d)] = y_{zs}(t - t_d) T[{0}，f(t−td​)]=yzs​(t−td​)

以灯泡开关为例。昨天，你把开关一开，灯亮了；今天，开关一开，灯也亮了就是时不变，如果灯没亮，就是时变。

1.4.2.5.2 时不变的直观判断方法

若$f(\cdot )$前出现变系数，或有反转、展缩变换，则该系统为时变系统。

1.4.2.5.3 LTI连续系统的微分特性和积分特性

线性时不变(Linear Time-Invariant)系统，简称LTI系统。

(1)微分特性：
若 f ( t ) → y z s ( t ) ， 则 f ′ ( t ) → y z s ′ ( t ) 若 f (t) → y_{zs} (t)， 则 f ' (t) → y_{zs}' (t) 若f(t)→yzs​(t)，则f′(t)→yzs′​(t)

(2)积分特性：
若 f ( t ) → y z s ( t ) ， 则 ∫ − ∞ t f ( x ) d x = ∫ − ∞ t y z s ( x ) d x 若 f (t) → y_{zs} (t)， 则\int_{-\infty}^tf(x)dx=\int_{-\infty}^ty_{zs}(x)dx 若f(t)→yzs​(t)，则∫−∞t​f(x)dx=∫−∞t​yzs​(x)dx

1.4.2.6 因果与非因果系统

定义
因果系统是指零状态响应不会出现在激励之前的系统。

即对因果系统，当 t < t 0 t\lt t_0 t<t0​，$f(t)=0$时，有 t < t 0 t\lt t_0 t<t0​， y z s ( t ) = 0 y_{zs}(t)=0 yzs​(t)=0

如下列系统均为因果系统：
y z s ( t ) = 3 f ( t − 1 ) y z s ( t ) = ∫ − ∞ t f ( x ) d x y_{\mathrm{zs}}(t)=3 f(t-1) \quad y_{z s}(t)=\int_{-\infty}^{t} f(x) d x yzs​(t)=3f(t−1)yzs​(t)=∫−∞t​f(x)dx

而下列系统为非因果系统（还没开开关，仪器就开始工作）：
（ 1 ） y z s ( t ) = 2 f ( t + 1 )  令  t = 1  时,  有  y z s ( 1 ) = 2 f ( 2 ) （1）y_{\mathrm{zs}}(t)=2 f(t+1) \text { 令 } t=1 \text { 时, } \text { 有 } y_{\mathrm{zs}}(1)=2 f(2) （1）yzs​(t)=2f(t+1) 令 t=1 时,  有 yzs​(1)=2f(2)

（ 2 ） y Z s ( t ) = f ( 2 t )  令  t = 1  时  ,  有  y z s ( 1 ) = f ( 2 ) （2）y_{\mathrm{Zs}}(t)=f(2 t) \quad \text { 令 } t=1 \text { 时 }, \text { 有 } y_{\mathrm{zs}}(1)=f(2) （2）yZs​(t)=f(2t) 令 t=1 时 , 有 yzs​(1)=f(2)

$\epsilon (t)表示：t>0$
$\epsilon (t-1)表示：t>1$

1.4.2.7 稳定系统与不稳定系统

一个系统，若对有界的激励$f(\cdot )$所产生的零状态响应 y z s ( ⋅ ) y_{zs}(\cdot) yzs​(⋅)也是有界的，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即若$|f(\cdot )|<\infty$，其 ∣ y z s ( ⋅ ) ∣ < ∞ |y_{zs}(\cdot)|\lt \infty ∣yzs​(⋅)∣<∞，则称该系统是稳定的。

《工程信号与系统》作者：郭宝龙等
国家精品课程：信号与系统 ，中国大学MOOC，郭宝龙，朱娟娟