manim|集合的运算

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前言

都说数学是基础学科，集合论则是基础中的基础，今天我们之所以能这么简便的使用集合的概念，还得感谢一个人——康托尔。康托尔（G·Cantor）作为集合论的创立者，也是数学史上最具有争议的人物之一，然而数学的发展证明了康托尔是正确的，他为数学的发展扫清了障碍，今天我们就来介绍一点集合的知识。

集合与集合的运算

至今很难有人把集合的概念精准完备的定义出来，现代数学把由一些能够确定的东西放在一起并称之为集合，常用大写字母S(set)表示，其中里面确定的东西叫做集合的元素，常用小写字母a表示，于是S与a之间就形成了某种关系，当a在S中，就说a属于S，记作a∈S, 反过来记a∉S，读作a不属于S，任意给定一个元素和一个集合，元素要么属于集合，要么不属于集合，必居其一。 元素属不属于集合是确定的，然而集合里面的元素的多寡又如何衡量呢？这就要用到集合的势。

集合的势是用来度量集合里面元素的多少的，如果集合里面元素是有限的话，那么集合的势就集合里面的元素的个数；如果集合里面元素是无限的话，那么就要用势这个概念来比较大小了。集合除了确定性之外，还有互异性和无序性两条重要性质。

互异性是说集合里面的元素互不相同的，从而每个元素只能出现一次。而无序性顾名思义说的就是集合里面的元素没有先来后到之分,谁在前谁在后都无所谓。

说完了集合的性质就该重点说说集合的运算了。具体有求交集，求并集，求差集，求对称集等运算，还有对应的可视化——Venn图（韦恩图）。

• 交集

交集是指同时属于两个集合的那些元素组成的集合。设A，B是两个集合，那么A，B的交集可用下面符号关系确定。

$A \cap B = \{x|x \in A, x\in B \}$

• 并集

并集是指只要属于其中一个集合的元素组成的集合，这么说可能有点绕，但是用数学符号表示就清晰明了，设A，B是两个集合，那么A，B的并集可用下面符号关系确定。

$A\cup B=\{x| x\in A 或 x \in B\}$

• 对称差集

对称差集是指只要属于其中一个集合，但不属于他们交集的那部分的元素组成的集合，这个运算稍微有点复杂，但是用数学符号表示就清晰明了，设A，B是两个集合，那么A，B的对称差集可用下面符号关系确定
$A\Delta B=\{x|x\in A\cup B,x\notin A\cap B\}$

用下面图来表示更直白。

• 差集

差集顾名思义就是两个集合做差运算，设A，B是两个集合，那么A，B的差集可用下面符号关系确定

$A-B=\{x| x\in A， x \notin B\}$

预览效果

BooleanOperations

代码

接下来，我们用代码将集合的运算渲染出来，大致思路是先画出两个有交集的集合，然后把他们的交集，并集，差集和对称集分别凸显出来并移动分离出来加以标注，并用不同颜色来表示。

from manim import *

class BooleanOperations(Scene):
    def construct(self):
        ellipse1 = Ellipse(width=4, height = 5, fill_opacity = 0.5, color =BLUE, stroke_width = 10).move_to(3*LEFT) #椭圆并左移3个单位
        ellipse2 = Ellipse(width=4, height = 5, fill_opacity = 0.3, color =RED, stroke_width = 10).move_to(1*LEFT) #椭圆并左移1个单位
        title_text = Text('Boolean Operation').next_to(ellipse1, 3*UP) #标题，靠近椭圆1, 上面3个单位
        ellipse_group = Group(ellipse1, ellipse2, title_text) #组成一个团队
        self.add(ellipse_group)

        i = Intersection(ellipse1, ellipse2, color = GREEN, fill_opacity = 0.5) #交集
        self.play(i.animate.scale(0.25).move_to(5*RIGHT+3*UP)) #缩小并移动
        intersection_text  = Text('Intersection', font_size=25).next_to(i, LEFT) #交集标题打交集左边1个单位
        self.play(FadeIn(intersection_text))
        
        u = Union(ellipse1, ellipse2, color = ORANGE, fill_opacity = 0.5) #并集
        self.play(u.animate.scale(0.25).move_to(5*RIGHT+1*UP)) #并集缩小并移动
        text3 = Text('Union', font_size=25).next_to(u, LEFT) #并集标题
        self.play(FadeIn(text3))

        e = Exclusion(ellipse1, ellipse2, color = YELLOW, fill_opacity = 0.5) #非交集
        self.play(e.animate.scale(0.25).move_to(5*RIGHT+1*DOWN))
        union_text = Text('Exclusion', font_size=25).next_to(e, LEFT)
        self.play(FadeIn(union_text))


        d = Difference(ellipse1, ellipse2, color = PINK, fill_opacity = 0.5) #差集
        self.play(d.animate.scale(0.25).move_to(5*RIGHT+3*DOWN))
        text5 = Text('Difference', font_size = 25).next_to(d, LEFT)
        self.play(FadeIn(text5))

with tempconfig({'quality': 'medium_quality', 'preview': True}):
    scene = BooleanOperations()
    scene.render()

参考文献

1，​​集合​​​ 2，​​集合的运算​​