图
- 为什么不用线性表和树
- 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
- 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
- 当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图。
图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：
图的常用概念
- 顶点(vertex)
- 边(edge)
- 路径
- 无向图
5) 有向图
6) 带权图
图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 row 和 col 表示的是 1…n个点。
邻接表
- 邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
- 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
DFS、BFS
获取邻接节点
// 得到某节点的第一个邻接结点的下标
public int getFirstNeighbor(int index){
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if(edges[index][i] > 0){
return i;
}
}
return -1;
}
// 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接节点
/**
*
* @param v1 当前节点
* @param v2 当前节点的上一个邻接节点
* @return
*/
public int getNextNeighbor(int v1, int v2){
for (int i = v2 + 1; i < vertexList.size(); i++){
if (edges[v1][i] > 0){
return i;
}
}
return -1;
}
DFS
图的深度优先搜索(Depth First Search) 。
- 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
- 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
- 显然，深度优先搜索是一个递归的过程
深度优先遍历算法步骤
- 访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。
- 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。
- 若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。
- 若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。
- 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。
// dfs
public void dfs(int index){
// 如果已经被访问过, 则返回
if (isVisited[index]){
return;
}
// 标记为访问过, 然后输出
isVisited[index] = true;
System.out.println(getValueByIndex(index));
int w = getFirstNeighbor(index);
while (true){
// 如果其邻接节点都已经被访问过
if (w==-1){
break;
}
if (!isVisited[w]){ // 如果这个节点没有被访问过, 则访问
dfs(w);
}
w = getNextNeighbor(index, w);
}
}
// 重载dfs,防止非连通图的存在
public void dfs(){
isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]){
dfs(i);
}
}
}
BFS
广度优先遍历基本思想
- 图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
- 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
广度优先遍历算法步骤
- 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
- 结点 v 入队列
- 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
- 出队列，取得队头结点 u。
- 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。
- 若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：
6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。
6.2 结点 w 入队列6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。
// bfs
public void bfs(int index){
// 如果当前节点访问过, 则结束
if (isVisited[index]){
return;
}
// 标记为访问过
isVisited[index] = true;
// 输出当前节点
System.out.println(getValueByIndex(index));
// 队列, 存储当前遍历过的节点
LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
// 当前访问节点
int nowNode = index;
int w;
while (true){
// 获取当前节点的第一个邻接节点
w = getFirstNeighbor(nowNode);
while (w!=-1){ // 当前邻接节点没遍历完时
if (!isVisited[w]){ // 如果当前节点的w邻接节点没有访问过, 输出并标记, 然后加入队列
isVisited[w] = true;
System.out.println(getValueByIndex(w));
queue.addLast(w);
}
// 当前节点的下一个邻接节点
w = getNextNeighbor(nowNode, w);
}
// 队列为空, 说明所有节点都已经访问过了
if (queue.isEmpty()){
break;
}
// 令当前节点为队首的节点, 并从队列删除
nowNode = queue.removeFirst();
}
}
// 重载, 防止不是连通图
public void bfs(){
isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]){
bfs(i);
System.out.println("-------");
}
}
}
完整代码
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点
private int[][] edges; // 存储图对应的邻结矩阵
private int numOfEdges; // 表示边的数目
// 某个节点是否被访问
private boolean[] isVisited;
public static void main(String[] args) {
// String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
int n = Vertexs.length;
// 创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
// 循环的添加顶点
for(String vertex: Vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//更新边的关系
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
// 添加边
// A-B A-C B-C B-D B-E
// graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
// graph.insertEdge(0, 2, 1); //
// graph.insertEdge(1, 2, 1); //
// graph.insertEdge(1, 3, 1); //
// graph.insertEdge(1, 4, 1); //
graph.showGraph();
graph.dfs();
System.out.println("---------------");
graph.bfs();
}
public Graph(int n){
// 初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<>();
numOfEdges = 0;
// isVisited = new boolean[n];
// System.out.println(Arrays.toString(isVisited));
}
// 得到某节点的第一个邻接结点的下标
public int getFirstNeighbor(int index){
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if(edges[index][i] > 0){
return i;
}
}
return -1;
}
// 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接节点
/**
*
* @param v1 当前节点
* @param v2 当前节点的上一个邻接节点
* @return
*/
public int getNextNeighbor(int v1, int v2){
for (int i = v2 + 1; i < vertexList.size(); i++){
if (edges[v1][i] > 0){
return i;
}
}
return -1;
}
// bfs
public void bfs(int index){
// 如果当前节点访问过, 则结束
if (isVisited[index]){
return;
}
// 标记为访问过
isVisited[index] = true;
// 输出当前节点
System.out.println(getValueByIndex(index));
// 队列, 存储当前遍历过的节点
LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
// 当前访问节点
int nowNode = index;
int w;
while (true){
// 获取当前节点的第一个邻接节点
w = getFirstNeighbor(nowNode);
while (w!=-1){ // 当前邻接节点没遍历完时
if (!isVisited[w]){ // 如果当前节点的w邻接节点没有访问过, 输出并标记, 然后加入队列
isVisited[w] = true;
System.out.println(getValueByIndex(w));
queue.addLast(w);
}
// 当前节点的下一个邻接节点
w = getNextNeighbor(nowNode, w);
}
// 队列为空, 说明所有节点都已经访问过了
if (queue.isEmpty()){
break;
}
// 令当前节点为队首的节点, 并从队列删除
nowNode = queue.removeFirst();
}
}
// 重载, 防止不是连通图
public void bfs(){
isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]){
bfs(i);
System.out.println("-------");
}
}
}
// dfs
public void dfs(int index){
// 如果已经被访问过, 则返回
if (isVisited[index]){
return;
}
// 标记为访问过, 然后输出
isVisited[index] = true;
System.out.println(getValueByIndex(index));
int w = getFirstNeighbor(index);
while (true){
// 如果其邻接节点都已经被访问过
if (w==-1){
break;
}
if (!isVisited[w]){ // 如果这个节点没有被访问过, 则访问
dfs(w);
}
w = getNextNeighbor(index, w);
}
}
// 重载dfs,防止非连通图的存在
public void dfs(){
isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]){
dfs(i);
}
}
}
// 返回节点的个数
public int getNumOfVertex(){
return vertexList.size();
}
// 显示图对应的矩阵
public void showGraph(){
for (int[] link: edges){
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
// 得到边的数目
public int getNumOfEdges(){
return numOfEdges;
}
// 返回节点i(下标对应的结点数据)
public String getValueByIndex(int i){
return vertexList.get(i);
}
// 返回v1顶点与v2顶点之间的边的权值
public int getWeight(int v1, int v2){
return edges[v1][v2];
}
// 插入节点
public void insertVertex(String vertex){
vertexList.add(vertex);
}
// 添加边
/**
* 结点v1和节点v2之间存在一条边
* @param v1
* @param v2
* @param weight 权重
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight){
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
