Codeforces Round #716 (Div. 2)

Codeforces Round #716 (Div. 2)

A - Perfectly Imperfect Array

int main() {
    IOS;
    for (cin >> _; _; --_) {
        cin >> n; bool f = 0;
        rep (i, 1, n) {
            cin >> m; k = sqrt(m);
            if (k * k != m) f = 1;
        }
        cout << (f ? "YES\n" : "NO\n");
    }
    return 0;
}

B - AND 0, Sum Big

要求和最大且 & 为 0，则在二进制（\(0~k-1\)）每个位置在序列种都有一个为的这一位为\(0\)

组合数, 用不用快速幂都行，\(k \leqslant 20\)

ll qpow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    for (; b; b >>= 1, a = a * a % mod) if (b & 1) ans = ans * a % mod;
    return ans;
}
 
int main() {
    IOS;
    for (cin >> _; _; --_) {
        cin >> n >> k;
        cout << qpow(n, k) << '\n';
    }
    return 0;
}

C - Product 1 Modulo N

这题怎么招也该D吧，数论下手

设乘积为\(x\), 则\(gcd(x, n) = gcd(k \times n + 1, n) = 1\) 故乘积互质

在把剩下的数相乘得到\(x = k \times n + d\)

先证明一下答案肯定存在

不存在题目该说-1

这明显是个模\(n\)二元运算为乘法的群, 必然存在乘模运算结果为\(1\) (离散数学)

则\(x = d \times (\frac{k}{d} \times n + 1) =  k \times n + d, d < n\)

所以我们把剩下的与\(n\)互质的数中的\(d, 1 < d\)扔了就好

int main() {
    IOS; cin >> n; set<int> st; ll c = 1;
    rep (i, 1, n - 1) if (__gcd(i, n) == 1) st.insert(i), c = c * i % n;
    st.erase(c % n); st.insert(1);
    cout << st.size() << '\n'; for (auto &i : st) cout << i << ' ';
    return 0;
}

D - Cut and Stick

注意到一段最多有一个数频率高于阈值, 出现\(c\) 次, 长度为\(len\)

则分成\(c - (len - c) = 2 \times c - len\)

然后就是怎么求区间众数了

注意到区间长为\(len\), 众数至少出现\(\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil\)次

我们随机选取\([l, r]\)中的一个数, 通过二分求其出现的次数, 随机40次

随机不到众数的概率为\(\frac{1}{2^{40}}\)

还记得那个\(0.9^365\), 这个同理, 随机不到众数的概率极其低下, 可认为能随机到众数

int main() {
    IOS; cin >> n >> m;
    rep (i, 1, n) cin >> a[i], st[a[i]].pb(i);
    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
    rep (i, 1, m) {
        int l, r, c = 0; cin >> l >> r;
        rep (j, 1, 40) {
            int d = a[uniform_int_distribution<int>(l,r)(rng)];
            umax(c, upper_bound(all(st[d]), r) - lower_bound(all(st[d]), l));
        }
        cout << max(1, 2 * c - r + l - 1) << '\n';
    }
    return 0;
}

Baby Ehab's Hyper Apartment