坐标变换(4)—旋转矩阵

1. 群

群(Group)是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记作$A$，运算记作$\cdot$， 那么群可以记作$G=(A,\cdot )$。群要求这个运算满足以下几个条件：

1. 封闭性: ∀ a 1 , a 2 ∈ A , a 1 ⋅ a 2 ∈ A \forall a_1, a_2 \in A, a_1\cdot a_2 \in A ∀a1​,a2​∈A,a1​⋅a2​∈A.
2. 结合律: ∀ a 1 , a 2 , a 3 ∈ A , ( a 1 ⋅ a 2 ) ⋅ a 3 = a 1 ⋅ ( a 2 ⋅ a 3 ) \forall a_1, a_2, a_3 \in A, (a_1\cdot a_2)\cdot a_3 = a_1 \cdot (a_2 \cdot a_3) ∀a1​,a2​,a3​∈A,(a1​⋅a2​)⋅a3​=a1​⋅(a2​⋅a3​).
3. 幺元: ∃ a 0 ∈ A , s . t . ∀ a ∈ A , a 0 ⋅ a = a ⋅ a 0 = a \exists a_{0} \in A, \quad s.t. \quad \forall a \in A, \quad a_{0} \cdot a=a \cdot a_{0}=a ∃a0​∈A,s.t.∀a∈A,a0​⋅a=a⋅a0​=a
4. 逆: ∀ a ∈ A , ∃ a − 1 ∈ A , s . t . a ⋅ a − 1 = a 0 \forall a \in A, \exists a^{−1} \in A, \quad s.t. \quad a · a^{−1} = a_0 ∀a∈A,∃a−1∈A,s.t.a⋅a−1=a0​.

2. special orthogonal group

定义参考坐标系(fix frame)为$\{S\}$，定义body frame为$\{b\}$，$\{b\}$在fixed frame$\{S\}$下经过一定的旋转，对应的旋转矩阵为$R$，

坐标系$\{b\}$的三个坐标轴，即基， x ^ b , y ^ b , z ^ b \hat{x}_{b},\hat{y}_{b},\hat{z}_{b} x^b​,y^​b​,z^b​，同时 R = [ x ^ b , y ^ b , z ^ b ] R=[\hat{x}_{b},\hat{y}_{b},\hat{z}_{b}] R=[x^b​,y^​b​,z^b​]，满足以下条件，

1. 单位向量
   r 11 2 + r 21 2 + r 31 2 = 1 r 12 2 + r 22 2 + r 32 2 = 1 r 13 2 + r 23 2 + r 33 2 = 1 \begin{aligned} &r_{11}^{2}+r_{21}^{2}+r_{31}^{2}=1\\ &r_{12}^{2}+r_{22}^{2}+r_{32}^{2}=1\\ &r_{13}^{2}+r_{23}^{2}+r_{33}^{2}=1 \end{aligned} ​r112​+r212​+r312​=1r122​+r222​+r322​=1r132​+r232​+r332​=1​
2. 正交
   x ^ b ⋅ y ^ b = 0 , x ^ b ⋅ z ^ b = 0 , z ^ b ⋅ y ^ b = 0 \hat{x}_{b}\cdot\hat{y}_{b}=0,\hat{x}_{b}\cdot\hat{z}_{b}=0,\hat{z}_{b}\cdot\hat{y}_{b}=0 x^b​⋅y^​b​=0,x^b​⋅z^b​=0,z^b​⋅y^​b​=0，即
   r 11 r 12 + r 21 r 22 + r 31 r 32 = 0 r 12 r 13 + r 22 r 23 + r 32 r 33 = 0 r 11 r 13 + r 21 r 23 + r 31 r 33 = 0 \begin{array}{l} r_{11} r_{12}+r_{21} r_{22}+r_{31} r_{32}=0 \\ r_{12} r_{13}+r_{22} r_{23}+r_{32} r_{33}=0 \\ r_{11} r_{13}+r_{21} r_{23}+r_{31} r_{33}=0 \end{array} r11​r12​+r21​r22​+r31​r32​=0r12​r13​+r22​r23​+r32​r33​=0r11​r13​+r21​r23​+r31​r33​=0​
   上面两个性质可以写成矩阵的形势，
   R R T = I RR^T=I RRT=I
   此外，坐标系$\{b\}$的三个坐标轴还需要遵守右手坐标系，例如 x ^ b × y ^ b = z ^ b \hat{x}_{b}\times\hat{y}_{b}=\hat{z}_{b} x^b​×y^​b​=z^b​，其中$\times$表示叉乘。
   在线性代数上有如下的一个公式，当我们知道一个$3\times 3$矩阵$M$的三列为$a,b,c$时，我们可以求得矩阵的行列式值为，

det ⁡ M = a T ( b × c ) = c T ( a × b ) = b T ( c × a ) \operatorname{det} M=a^{\mathrm{T}}(b \times c)=c^{\mathrm{T}}(a \times b)=b^{\mathrm{T}}(c \times a) detM=aT(b×c)=cT(a×b)=bT(c×a)
所以，我们可以得到，
$$detR=1$$
至此，我们推导出了旋转矩阵满足的两个条件。在数学上，将满足上述两个条件的$3\times 3$的矩阵统称为special orthogonal group $SO(3)$，即3维的特殊正交群，容易验证$R$符合群的封结幺逆的性质，此外对于任意的3维列向量$x$，$y=Rx$和$x$具有相同的长度(2范数)。

∥ y ∥ 2 = y T y = ( R x ) T R x = x T R T R x = x T x = ∥ x ∥ 2 \|y\|^{2}=y^{\mathrm{T}} y=(R x)^{\mathrm{T}} R x=x^{\mathrm{T}} R^{\mathrm{T}} R x=x^{\mathrm{T}} x=\|x\|^{2} ∥y∥2=yTy=(Rx)TRx=xTRTRx=xTx=∥x∥2

3. 旋转矩阵的使用

1. 描述一个坐标系
2. 改变向量或者坐标系的参考坐标系
3. 旋转一个坐标系或者向量

3.1 描述坐标系

在第一种情况下，旋转矩阵的三列分别对应坐标系的三个坐标轴，即基，

考虑以上三个坐标系，其对应的描述为，
R a = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] , R b = [ 0 − 1 0 1 0 0 0 0 1 ] , R c = [ 0 − 1 0 0 0 − 1 1 0 0 ] R_{a}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad R_{b}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad R_{c}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right] Ra​=⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​,Rb​=⎣⎡​010​−100​001​⎦⎤​,Rc​=⎣⎡​001​−100​0−10​⎦⎤​

而空间中的同一点$P$，在三个坐标系中的描述分别为，

p a = [ 1 1 0 ] , p b = [ 1 − 1 0 ] , p c = [ 0 − 1 − 1 ] p_{a}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \quad p_{b}=\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right], \quad p_{c}=\left[\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right] pa​=⎣⎡​110​⎦⎤​,pb​=⎣⎡​1−10​⎦⎤​,pc​=⎣⎡​0−1−1​⎦⎤​

R a p a = R b p b = R c p c = [ 1 1 0 ] R_{a}p_a=R_bp_b=R_cp_c=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] Ra​pa​=Rb​pb​=Rc​pc​=⎣⎡​110​⎦⎤​

3.2 改变参考坐标系

假设旋转矩阵 R a b R_{ab} Rab​，描述了$\{b\}$相对于$\{a\}$的旋转， R b c R_{bc} Rbc​描述了$\{c\}$相对于$\{b\}$的旋转，则 R a c R_{ac} Rac​为$\{c\}$相对于$\{a\}$的旋转，
R a c = R a b R b c R_{ac}=R_{ab}R_{bc} Rac​=Rab​Rbc​
向量$p$在$\{b\}$坐标系的向量为 p b p_b pb​，则在$\{a\}$坐标系下 p a p_a pa​为，
R a b p b = p a R_{ab}p_b=p_a Rab​pb​=pa​

3.3 旋转一个坐标系或者向量

在坐标系$\{a\}$下旋转一个向量 p a p_a pa​(同一坐标系下)，会产生另外一个向量 p ′ a p\prime _a p′a​，
p ′ a = R p a p\prime _a=Rp_a p′a​=Rpa​

而对一个坐标系乘以一个旋转矩阵，则有不同的意义，分为左乘和右乘，下面分别介绍，其中参考坐标系为$\{S\}$，body frame为$\{b\}$，$\{S\}$绕$Z$轴转90度生成$\{b\}$， R s b R_{sb} Rsb​表示$\{b\}$在$\{S\}$下的描述，而$R$仅表示某一旋转矩阵(绕着$x$转30度),下面借助matlab来进行可视化，

3.3.1 左乘

R_sb = rotz(90)
R = rotx(30)
R_1 =  R * R_sb 
tranimate(R_1)

R_sb =

     0    -1     0
     1     0     0
     0     0     1
     
R =

    1.0000         0         0
         0    0.8660   -0.5000
         0    0.5000    0.8660
R_1 =

         0   -1.0000         0
    0.8660         0   -0.5000
    0.5000         0    0.8660

最终结果，

由上面两图可以看到，$R$左乘 R s b R_{sb} Rsb​，是顺着原来$\{S\}$中的$X$轴旋转了30度。因此左乘，$\{R\}$是在$\{S\}$坐标系下的描述。

3.3.2 右乘

R_sb = rotz(90)
R = rotx(30)
R_1 =  R_sb * R 
tranimate(R_1)

R_sb =

     0    -1     0
     1     0     0
     0     0     1
R =

    1.0000         0         0
         0    0.8660   -0.5000
         0    0.5000    0.8660
R_1 =

         0   -0.8660    0.5000
    1.0000         0         0
         0    0.5000    0.8660

最终结果，

由上面两图可以看到，$R$右乘 R s b R_{sb} Rsb​，是顺着$\{b\}$中的$X$轴旋转了30度。右乘，$\{R\}$是在$\{b\}$坐标系下描述。
其实关于左乘和右乘，在前面的文章中介绍过旋转矩阵的列向量是$\{b\}$在$\{S\}$中的描述，右乘相当于，
[ x ^ b , y ^ b , z ^ b ] R = [ r 11 x ^ b + r 21 y ^ b + r 31 z ^ b , r 12 x ^ b + r 22 y ^ b + r 32 z ^ b , r 13 x ^ b + r 23 y ^ b + r 33 z ^ b ] \begin{bmatrix} \hat{x}_{b},\hat{y}_{b},\hat{z}_{b} \end{bmatrix}R=\begin{bmatrix} r_{11}\hat{x}_{b}+r_{21}\hat{y}_{b}+r_{31}\hat{z}_{b},r_{12}\hat{x}_{b}+r_{22}\hat{y}_{b}+r_{32}\hat{z}_{b},r_{13}\hat{x}_{b}+r_{23}\hat{y}_{b}+r_{33}\hat{z}_{b} \end{bmatrix} [x^b​,y^​b​,z^b​​]R=[r11​x^b​+r21​y^​b​+r31​z^b​,r12​x^b​+r22​y^​b​+r32​z^b​,r13​x^b​+r23​y^​b​+r33​z^b​​]
此时，矩阵的乘积的每一列都是$\{b\}$所对应基的线性组合，所以$\{R\}$此时的意义肯定是在$\{b\}$坐标系下描述。
同理，前面文章提到过，旋转矩阵的行向量是$\{S\}$在$\{b\}$中的描述，此时$\{b\}$是参考坐标系，
R [ x ^ s y ^ s z ^ s ] = [ r 11 x ^ s + r 12 y ^ s + r 13 z ^ s r 21 x ^ s + r 22 y ^ s + r 23 z ^ s r 31 x ^ s + r 32 y ^ s + r 33 z ^ s ] R\begin{bmatrix} \hat{x}_{s} \\ \hat{y}_{s} \\ \hat{z}_{s} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} r_{11}\hat{x}_{s}+r_{12}\hat{y}_{s}+r_{13}\hat{z}_{s}\\ r_{21}\hat{x}_{s}+r_{22}\hat{y}_{s}+r_{23}\hat{z}_{s}\\ r_{31}\hat{x}_{s}+r_{32}\hat{y}_{s}+r_{33}\hat{z}_{s} \end{bmatrix} R⎣⎡​x^s​y^​s​z^s​​⎦⎤​=⎣⎡​r11​x^s​+r12​y^​s​+r13​z^s​r21​x^s​+r22​y^​s​+r23​z^s​r31​x^s​+r32​y^​s​+r33​z^s​​⎦⎤​
此时，矩阵的乘积的每一行都是$\{S\}$所对应基的线性组合，所以$\{R\}$此时的意义肯定是在$\{S\}$坐标系下描述。