算法导论-----------------0-1背包问题dp求解

首先介绍一下动态规划...

设计一个动态规划算法，通常可按照以下几个步骤进行：

(1) 找出最优解的性质，并刻画其结构特征。

(2) 递归地定义最优解的值

(3) 以自底而上的方式计算出最优值

(4) 根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。

对于一个给定的问题，若具有以下两个性质，则可以考虑用动态规划法来求解。

(1) 最优子结构。如果一个问题的最优解中包含了其子问题的最优解，就说该问题具有最优子结构。当一个问题具有最优子结构时，提示我们动态规划法可能会适用，但是此时贪心策略可能也是适用的。

(2) 重叠子问题。指用来解原问题的递归算法可反复地解同样的子问题，而不是总在产生新的子问题。即当一个递归算法不断地调用同一个问题时，就说该问题包含重叠子问题。此时若用分治法递归求解，则每次遇到子问题都会视为新问题，会极大地降低算法的效率，而动态规划法总是充分利用重叠子问题，对于每个子问题仅计算一次，把解保存在一个在需要时就可以查看的表中，而每次查表的时间为常数。

问题：有n个物品，第i个物品价值为vi，重量为wi，其中vi和wi均为非负数，背包的容量为W，W为非负数。现需要考虑如何选择装入背包的物品，使装入背包的物品总价值最大。该问题以形式化描述如下：

       目标函数为 ：     

       约束条件为：

       满足约束条件的任一集合（x1，x2，...，xn）是问题的一个可行解，问题的目标是要求问题的一个最优解。考虑一个实例，假设n=5，W=17， 每个物品的价值和重量如表9-1所示。可将物品1，2和5装入背包，背包未满，获得价值22，此时问题解为你（1，1，0，0，1）。也可以将物品4和5装入背包，背包装满，获得价值24，此时解为（0，0，0，1，1）。

      下面根据动态规划的4个步骤求解该问题。

(1) 刻画0-1背包问题的最优解的结构。

      可以将背包问题的求解过程看作是进行一系列的决策过程，即决定哪些物品应该放入背包，哪些物品不放入背包。如果一个问题的最优解包含了物品n，即xn=1，那么其余x1，x2，...，x(n-1)一定构成子问题1，2，...，n-1在容量W-wn时的最优解。如果这个最优解不包含物品n，即xn=0，那么其余x1，x2，...，x(n-1)一定构成子问题1，2，...，n-1在容量W时的最优解。

(2)递归定义最优解的值

     根据上述分析的最优解的结构递归地定义问题最优解。设c[i,w]表示背包容量为w时，i个物品导致的最优解的总价值，得到下式。显然要求c[n,w]。

                           

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int dynamic_0_1_knapsack(int *v, int *w, int n, int W)
{
  vector<vector<int>> c(n + 1, vector<int>(W+1, 0));//c[i][j]表示，将i个物品放入容量为j的背包中所具有的价值最大值；
  
  for (int i = 0; i <= n; ++i)
  {
    c[i][0] = 0;
  }

  for (int i = 1; i <= n; ++i)
  {
    c[i][0] = 0;
    for (int j = 1; j <= W; ++j)
    {
      if (w[i] <= j)
      {
        if (v[i] + c[i - 1][j - w[i]] > c[i - 1][j])
          c[i][j] = v[i] + c[i - 1][j - w[i]];
        else
          c[i][j] = c[i - 1][j];
      }
      else
      {
        c[i][j] = c[i - 1][j];
      }
    }
  }

  return c[n][W];
}

int main()
{
  int v[4] = { 0, 60, 100, 120 };
  int w[4] = { 0, 1, 2, 3 };
  int W = 5;
  cout << dynamic_0_1_knapsack(v, w, 3, W) << endl;

  vector<vector<int>> c(3 + 1, vector<int>(W + 1, 0));
  for (int i = 0; i <= 3; i++)
  {
    for (int j = 0; j <= 5; j++)
    {
      c[i][j] = dynamic_0_1_knapsack(v, w, i, j);
      cout << dynamic_0_1_knapsack(v, w, i, j) << " ";
    }
    cout << endl;
  }

  int remainspace = W;
  for (int i = 3; i >= 1; i--)
  {
    if (remainspace >= w[i])
    {
      if ((c[i][remainspace] - c[i - 1][remainspace - w[i]] ==v[i]))
      {
        cout << "item " << i << " is selected!" << endl;
        remainspace = remainspace - w[i];//如果第i个物品被选择，那么背包剩余容量将减去第i个物品的重量 ;
      }
    }
  }
}