测试地址:树的计数
做法:本题需要用到Prufer序列+组合计数。
什么是Prufer序列呢?是这样的,对于一棵树,每次将其编号最小的节点删去,并在序列中加入这个点所连接的点的编号,这样直到最后只剩下2个点为止,这样生成出来的长为n−2的序列就是这棵树的Prufer序列,可以证明Prufer序列和树之间是一一对应关系,也就是说,Prufer序列有多少,树就有多少。
举个例子:求n个带编号点连接成的完全图的生成树个数。因为Prufer序列长为n−2,而每个位置都可以是1~n,所以生成树个数就是nn−2。
那么回到这一题,我们可以把求合法的树的数量这个问题,转化成求合法的Prufer序列数量。这里有一个性质,假如一棵树中点i的度数为d,那么它必定在Prufer序列中出现且仅出现d−1次,具体的证明网上有很多,这里就不赘述了。总之,确定每个点在序列中的出现次数后,不难发现答案就是一个可重排列,显然答案为:(n−2)!/∏ni=1(di−1)!。注意虽然答案保证不超过1017,但是中间结果却非常大,注意到答案肯定是整数,而式子中的数都是一些不超过n的数的乘积形式,所以我们求出n以内的所有的质数,然后对每个数质因数分解,再求个前缀和就可以得到阶乘中某个质因子的幂了,将这些东西存起来,最后再乘出答案就行了。
最后还有一个小问题:判定无解。无解肯定只有两种情况:1.n≠1而某个di=0;2.∑ni=1(di−1)≠n−2。一一判断这两种情况是否出现即可判定是否无解。
以下是本人代码:
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int n,d[310],tot=0,sum[310][310]={0},ans[310];
ll p[310];
bool prime[310]={0};
void calc_prime(int limit)
{
for(ll i=2;i<=limit;i++)
{
if (!prime[i]) p[++tot]=i;
for(ll j=1;j<=tot&&i*p[j]<=limit;j++)
{
prime[i*p[j]]=1;
if (i%p[j]==0) break;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
calc_prime(300);
for(int i=2;i<=300;i++)
{
for(int j=1;j<=tot;j++)
{
sum[i][j]=0;
int x=i;
while(x%p[j]==0) sum[i][j]++,x/=p[j];
sum[i][j]+=sum[i-1][j];
}
}
for(int i=1;i<=tot;i++) ans[i]=sum[n-2][i];
int s=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&d[i]);
if (n!=1&&d[i]==0) {printf("0");return 0;}
s+=d[i]-1;
}
if (s!=n-2) printf("0");
else
{
ll f=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=tot;j++)
ans[j]-=sum[d[i]-1][j];
for(int i=1;i<=tot;i++)
for(int j=1;j<=ans[i];j++)
f*=p[i];
printf("%lld",f);
}
return 0;
}