康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+…+ai*(i-1)!+…+a2*1!+a1*0! 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。
这个公式可能看着让人头大，最好举个例子来说明一下。
例如，有一个数组 s = [“A”, “B”, “C”, “D”]，它的一个排列 s1 = [“D”, “B”, “A”, “C”]，现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度，也就是4，所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？
a4 = “D” 这个元素在子数组 [“D”, “B”, “A”, “C”] 中是第几大的元素。”A”是第0大的元素，”B”是第1大的元素，”C” 是第2大的元素，”D”是第3大的元素，所以 a4 = 3。
a3 = “B” 这个元素在子数组 [“B”, “A”, “C”] 中是第几大的元素。”A”是第0大的元素，”B”是第1大的元素，”C” 是第2大的元素，所以 a3 = 1。
a2 = “A” 这个元素在子数组 [“A”, “C”] 中是第几大的元素。”A”是第0大的元素，”C”是第1大的元素，所以 a2 = 0。
a1 = “C” 这个元素在子数组 [“C”] 中是第几大的元素。”C” 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）
所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5
康托展开是什么？
定义：
X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+…+ai*(i-1)!+…+a2*1!+a1*0!
ai为整数，并且0<=ai
康托展开有啥用呢？
维基：n位（0~n-1）全排列后，其康托展开唯一且最大约为n!，因此可以由更小的空间来储存这些排列。由公式可将X逆推出对应的全排列。
它可以应用于哈希表中空间压缩，
而且在搜索某些类型题时，将VIS数组量压缩。比如:八数码、魔板。。
康托展开求法：
比如2143 这个数，求其展开：
从头判断，至尾结束,
① 比 2（第一位数）小的数有多少个->1个就是1，1*3!
② 比 1（第二位数）小的数有多少个->0个0*2!
③ 比 4（第三位数）小的数有多少个->3个就是1,2,3，但是1,2之前已经出现，所以是 1*1!
将所有乘积相加=7
比该数小的数有7个，所以该数排第8的位置。
1234 1243 1324 1342 1423 1432
2134 2143 2314 2341 2413 2431
3124 3142 3214 3241 3412 3421
4123 4132 4213 4231 4312 4321
int fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320}; //i的阶乘为fac[i]
// 康托展开-> 表示数字a是 a的全排列中从小到大排，排第几
// n表示1~n个数 a数组表示数字。
int kangtuo(int n,char a[])
{
int i,j,t,sum;
sum=0;
for( i=0; i<n ;++i)
{
t=0;
for(j=i+1;j<n;++j)
if( a[i]>a[j] )
++t;
sum+=t*fac[n-i-1];
}
return sum+1;
}康托展开的逆：
康托展开是一个全排列到自然数的双射，可以作为哈希函数。
所以当然也可以求逆运算了。
逆运算的方法：
假设求4位数中第19个位置的数字。
① 19减去1 → 18
② 18 对3！作除法 → 得3余0
③ 0对2！作除法 → 得0余0
④ 0对1！作除法 → 得0余0
据上面的可知：
我们第一位数（最左面的数），比第一位数小的数有3个，显然 第一位数为→ 4
比第二位数小的数字有0个，所以 第二位数为→1
比第三位数小的数字有0个，因为1已经用过，所以第三位数为→2
第四位数剩下 3
该数字为 4123 (正解)
用代码实现上述步骤为：
int fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320};
//康托展开的逆运算,{1...n}的全排列，中的第k个数为s[]
void reverse_kangtuo(int n,int k,char s[])
{
int i, j, t, vst[8]={0};
--k;
for (i=0; i<n; i++)
{
t = k/fac[n-i-1];
for (j=1; j<=n; j++)
if (!vst[j])
{
if (t == 0) break;
--t;
}
s[i] = '0'+j;
vst[j] = 1;
k %= fac[n-i-1];
}
}
