测试地址:地精部落
做法:本题需要用到DP+滚动数组。
注意到题目问的就是长为nn的波动排列数目,但是由于pp不一定是质数,所以我们要避免使用逆元,又因为空间只有64MB,我们需要严格控制空间的使用。
考虑如何计算长为ii的波动排列数目,我们可以枚举ii的位置jj,因为ii一定是最大的元素,所以它的两边一定是谷,因此我们就要求长为j−1j−1和i−ji−j的第一位或最后一位是谷的方案数,然后乘上一个Cj−1i−1Ci−1j−1累加入答案即可。显然组合数可以通过Cji=Cj−1i−1+Cji−1Cij=Ci−1j−1+Ci−1j这个递推式滚动计算。
问题是我们怎么计算上面那些带限制的方案数呢?注意到一个性质:波动排列的第一位是峰或谷的方案数是一样的。为什么呢?因为显然每一个第一位是峰的方案,都可以通过所有元素ii变为n−i+1n−i+1唯一对应一个第一位是谷的方案。所以我们定义f(i)f(i)为第一位是谷的方案,那么我们可以得到状态转移方程:
2f(i)=∑ij=1Cj−1i−1f(j−1)f(i−j)2f(i)=∑j=1iCi−1j−1f(j−1)f(i−j)
注意到f(i)f(i)有个22的系数,然而上面我们已经说了要尽量避免逆元的计算,所以根据定义,我们只计算jj是偶数的情况,即:
f(i)=∑ij=1[j是偶数]Cj−1i−1f(j−1)f(i−j)f(i)=∑j=1i[j是偶数]Ci−1j−1f(j−1)f(i−j)
特殊地,f(0)=f(1)=1f(0)=f(1)=1,那么这道题的答案就是2f(n)2f(n),这样我们就得到了一个O(n2)O(n2)的做法,可以通过此题。
以下是本人代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll p,f[5010]={0},C[2][5010]={0};
int main()
{
scanf("%d%lld",&n,&p);
f[0]=f[1]=1;
C[0][0]=1;
int past=0,now=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
C[now][0]=1;
for(int j=1;j<=i-1;j++)
C[now][j]=(C[past][j-1]+C[past][j])%p;
for(int j=2;j<=i;j+=2)
f[i]=(f[i]+C[now][j-1]*f[j-1]%p*f[i-j])%p;
swap(now,past);
}
printf("%lld",(f[n]<<1)%p);
return 0;
}