【线性代数】线性方程组的求解

       上一篇文章讲述了Ax=0的解和矩阵A的零空间。这里我们讨论Ax=b的解以及矩阵A的列空间。

       Ax=0是肯定有解的，由于总存在x为全零向量。使得方程组成立。而Ax=b是不一定有解的。我们须要高斯消元来确定。我们还是利用上一篇讲述了Ax=0的解的矩阵A来举例说明：

我们能够得到上述方程组的增广矩阵(等式右側不是全零向量，消元时值会改变，所以须要用增广矩阵)例如以下：

然后我们进行高斯消元能够得到：

从上面的矩阵能够看出。等式成立必须有：

我们如果一个满足上面条件的b向量，比如：b=[1 5 1+5];而且令两个自由变量x2=0,x4=0，则我们将消元后的矩阵写成方程组的形式例如以下：

得到的解为：

 

 

Xc是这个方程组的一个特解。由于当X2,X4取不同的值时。会得到不同的特解。

 

那么我们如何得到方程的同解呢？即如何用一般形式来表示全部的特解？

求解Ax=b的过程：

1、求解特解Xc

2、求解Ax=0的解Xn

Ax=b的解就是特解Xc+Xn。证明例如以下：

 

Xc我们上面已经得到，Xn在上一篇文章中得到。则通解能够表示为：

 

至此。我们就得到了Ax=b的解。

通过上面的分析求解，我们知道当b满足下式时。方程组有解：

 

实际上，方程有解的条件是向量b属于矩阵A的列空间。即向量b能够表示为矩阵A的各列的线性组合。

比如上面的样例：

 

方程的解就是矩阵A中各列前面的系数。

 

 

以下推广到更一般的情况，我们以矩阵A的不同情况来看解的结构(如果矩阵A为m*n的矩阵,秩为r)：

1、r=n<m，即列满秩(全部列都有主元)

     因为全部列都有主元，则自由变量的个数为0。矩阵A的零空间中仅仅有零向量。Ax=b的解的个数为0个或者1个.

     举例说明：

 

 

  当b=[4 3 6 7]时，Ax=b的唯一解为x=[1 1]。

 

 

 

2、r=m<n，即行满秩(全部行都有主元)

     因为全部行都有主元，消元后不会出现全为0的行，则Ax=b有无穷多解。

 

且自由变量的个数为n-r，矩阵A的零空间中不仅仅有零向量。

 

     比如：

 

 

3、r=m=n。即列、行都满秩(矩阵可逆)

     因为列、行都满秩，则具有列满秩，行满秩的一些性质：零空间仅仅有零向量，方程总有解且解唯一。

 

 

 

4、r<m，r<n，非满秩矩阵

 

Ax=b有无穷多解或则没有解。

 

从上面的四种情况的讨论。我们能够总结例如以下：

假设想看一个线性方程组的解的情况，我们能够通过高斯消元法得到矩阵A的最简形式R，R的可能情况例如以下：

这四种情况分别相应的解的情况为：

1、唯一解或无解

2、无穷多解

3、唯一解

4、无解或无穷多解

 

 

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作者：nineheadedbird